Zinematika

Higidura erlatiboa

Higidura erlatiboa
translazio uniformeaz

Higidura erlatiboa
errotazio uniformeaz

Azelerazio zentrifugoa
eta Coriolis-ena

2 adibidea

3 adibidea

Bidaien iraupenak konparatzea

Saiakuntza

Higidura erlatiboa aztertzen hasteko aukeratzen diren ariketak sinpleak izaten dira, eta intuizio hutsez planteatu eta ebatz daitezke, abiadura erlatiboaren kontzeptua ez baita zaila.

1 adibidea

Ibai baten ur-korrontea ekialderantz doa c=3 m/s-ko abiaduraz. Txalupa bat uretan mugitzen da v=4 m/s abiaduraz urarekiko:

• Kalkula bedi txaluparen abiadura lurrarekiko, korrontearen alde mugitzen ari denean eta korrontearen aurka mugitzen ari denean.
• Kalkula bedi zenbat denbora tardatuko duen txalupa horrek O-tik P-ra joan eta etorriko bidaia egiten, bi puntuen arteko distantzia d=100 m bada.

Txaluparen abiadura lurrarekiko, korrontearen alde ari denean, c+v da, alegia 7 m/s.   Txaluparen abiadura lurrarekiko, korrontearen aurka ari denean, c-v da, alegia -1 m/s.

• Txalupak joaneko bidaia egiten tardatzen duen denbora hau da: t₁=d/(v+c)
• Eta bueltako bidaia egiten tardatzen duen denbora hau da: t₂=d/(v-c)

Denbora totala bien batura da:

Zenbakizko datuok ordezkatuz gero: t=800/7=114.3 s.

2 adibidea

Kasu honetan txalupak ibaia alboz albo zeharkatzen du, eta bi baldintza ezberdin gerta daitezke:

• Txaluparen v abiadura urarekiko korrontearen c abiadura baino handiagoa izatea.

• Txaluparen v abiadura urarekiko korrontearen c abiadura baino txikiagoa izatea.

Lehen kasua: v>c

Ibaiaren ur-korrontea ekialderantz doa c=3 m/s-ko abiaduraz. Txaluparen abiadura urarekiko v=4 m/s da.

• Nolakoa izan behar da txaluparen norabidea justu O-ren parean dagoen P punturaino iristeko? Alegia, norantz apuntatu behar du txalupak, gero P punturainoko ibilbide zuzena lortzeko?
• Kalkula bedi orduan, zein den txaluparen V abiadura lurrarekiko.
• Kalkula bedi zenbat denbora tardatuko duen txalupa horrek O-tik P-ra joan eta etorriko bidaia egiten, bi puntuen arteko distantzia d=100 m bada.

Joaneko osteran, txaluparen V abiadurak lurrarekiko iparralderanzko norabidea izan behar du.

Batura bektoriala honela egin behar da: V=v+c  beraz 

Vj=(v·cosθ i+v·sinθ j)+ci

edo osagaiak bananduz,

0=c+v·cosθ
V=v·sinθ

• Bi ekuazio horietako lehenarekin, θ angelua kalkula daiteke: cosθ= -c/v.

• Eta bigarren ekuazioarekin, txaluparen V abiadura kalkula daiteke lurrarekiko (edo baita ere, V hiruki zuzenaren katetoa denez, eta v hipotenusa eta beste katetoa c).

• Itzuliko ostera erabat analogoa da, beraz denbora totala bikoitza da:

Zenbakizko datuok ordezkatuz,

• Txaluparen abiadura lurrarekiko ateratzen da.

• Txaluparen norabideak osatzen duen angelua ekialde-mendebalde norabidearekin: θ=138.6º.

• Eta bidaiaren iraupena,  t=2·37.6=75.6 s

Bigarren kasua: v<c

Txaluparen v abiadura urarekiko korrontearen c abiadura baino txikiagoa denean, ezinezkoa da ibaia zuzenki eta desbideratu gabe zeharkatzea, beraz P puntua desplazatuta egon beharko da.

Txaluparen abiadura lurrarekiko batura bektorial hau da: V=v+c

V=(v·cosθ i+v·sinθ j)+ci=(c+v·cosθ) i+v·sinθ j

Eta bidaiaren t iraupena eta x desplazamendu horizontala kalkula daitezke:

Desplazamendu horizontala minimoa izan dadin,

Txalupa θ_m angelu horrekin abiatuz x desplazamendua minimoa da, eta kasu horretako t iraupena:

Iraupena minimoa da sinua -1 denean, hau da, 2θ_m=270º denean, edo θ_m=135º.

Bidaiaren iraupena minimoa da txaluparen abiadura honelakoa denean: v= -c·cos135. Hau da, korrontearen norabidearekiko txalupa  θ_m=135º angeluaz abiatuz gero. Bidaiaren iraupena eta x desplazamendu horizontala baldintza horietan:

Adibidea

Ibaiaren korrontea ekialderantz doa c=4 m/s-ko abiaduraz. Txalupa uretan mugitzen da v=3 m/s-ko abiaduraz.

Desplazamendu minimoa lortzen duen angelua kasu honetan θ_m=138.6º da, desplazamendua x_m=88.2 m, eta iraupena  t=50.4 s.

Txaluparen abiadura v= -c·cos135 izan balitz, hau da, , orduan desplazamendu minimoa sortzen duen angelua θ_m=135º izango litzateke, desplazamendu hori x_m=100 m eta joaneko osteraren iraupena t_m=50.0 s.

3 adibidea

Ibaiaren korrontea ekialderantz doa c=3 m/s-ko abiaduraz. Txalupa uretan mugitzen da v=4 m/s-ko abiaduraz eta θ=90º-ko norabidea du, alegia, txalupak justu iparrerantz apuntatzen du.

• Kalkula bedi txaluparen abiadura lurrarekiko.
• Ibaiaren zabalera d=100 m bada, kalkula bedi bidaiak zenbat iraungo duen.
• Zenbat desplazatzen da txalupa ekialderantz, ibaiaren beste ertzeraino iristean?
• Norantz apuntatu behar du txalupak itzuliko ostera egitean, berriro P-tik O-ra iristeko?
• Zein izango da itzuliko bidaiaren iraupena?

Txaluparen V abiadura lurrarekiko beste bi abiaduren batura bektoriala da: alde batetik txaluparen v abiadura urarekiko (ura bare balego bezala) eta bestetik ur-korrontearen c abiadura lurrarekiko.

Batura bektoriala hau da:  V=v+c

Vsinα i+ Vcosα j=ci+vj

Abiadura erresultantearen V modulua hau da:

eta ipar-hego norabidearekin α angelua osatzen du:

• Joaneko bidaiaren iraupena hau da t₁=d/v,

• Eta ekialderanzko desplazamendu horizontala x=c·t₁=c·d/v. Edo bestela, irudiak erakusten duen hiruki zuzenean, x=d·tanα=d·c/v.

Aipaturiko datuok ordezkatuz:

• Txaluparen abiadura erresultantea lurrarekiko V=5 m/s da, eta bere norabideak ipar-hegoarekiko α=36.9º-ko angelua osatzen du.

• Ibaia zeharkatzeko bidaiaren iraupena, t=25 s.

• Eta txalupa beste ertzera iristean duen desplazamendu horizontala, x=75 m.

Hurrengo galdera pixka bat zailagoa da: Norantz apuntatu behar du txalupak itzuliko ostera egitean, berriro P-tik O-ra iristeko?

Irudiak erakusten duenez, kalkulatu behar duguna, b angelua da, alegia zein norabidetan apuntatu behar den txaluparen v abiadura korrontearekiko, horren ondorioz V abiadura erresultanteak a angelua (lehendik ezaguna) osa dezan lurrarekiko, ipar-hego norabidearekin.

Bektoreen batura kalkulatu behar da: V=v+c

 -V·sinα i+ -V·cosα j= -v·sinβ i -v·cosβ j +c i

Edo osagaietan:

V·sinα= v·sinβ -c
V·cosα= v·cosβ

baina a lehendik ezaguna da: tanα=c/v

Ekuazio horietatik ez da zailegia frogatzea: β=2α. Horretarako, erlazio trigonometriko hauek erabili behar dira:

Eta txalupak berriro O puntura itzultzeko osteraren iraupena hau da:

Hemen erabili den erlazio trigonometrikoa hau da: 1+tan²α=1/cos²α

Bidaia osoaren iraupena:

Eta datuak ordezkatuz:

• Txalupa apuntatzen den norabidea, ekialde-mendebalde norabidearekiko: θ=90+β=90+2α=163.8º

• Itzuliko osteraren iraupena: t₂=89.3 s eta bidaia osoarena:  t=25+89.3=114.3 s

Bidaien iraupenak konparatzea

Ibaia zeharkatzeko joaneko osteraren iraupena minimoa da hirugarren kasuan (t₁=25 s), bigarren kasuaren iraupena baino txikiagoa baita (v>c kasua: t₁=37.6 s). Baina itzuliko osteraren iraupena hirugarren kasuan (t₂=89.3 s) bigarrenean baino luzeagoa da (t₂=37.6 s). Guztira, joana eta etorria kontutan izanda, bigarren kasuko iraupena (t=75.6 s) txikiagoa da hirugarren kasukoa baino (t=114.3 s) eta horixe da hain zuzen ibaia zeharkatzeko denbora minimoa.

Lehenengo kasuaren iraupena (t=114.3 s) hirugarrenaren iraupen bera da.

Saiakuntza

Idatzi beharreko datuak:

• Txaluparen abiadura urarekiko: v (ura geldi balego izango lukeena).
• Korrontearen abiadura lurarekiko: c.
• Txaluparen norabidea (norantz apuntatzen den) θ angelua laukian idatziz edo desplazamendu-barrari eragiten: angelu hau adierazteko, ekialde-mendebalde norabidea hartu da erreferentzia gisa.

Hasiera botoia sakatu (joaneko ostera egiteko) eta gero Hasi botoia.

Txalupak joaneko bidaia egiten du pareko ertzera iritsi arte. Itzuliko ostera abiatzeko, idatz bedi  θ angelu berri bat eta saka ezazu berriz Hasi botoia.

Txalupa hasierako posiziora eramateko Hasiera botoia sakatu behar da.

Programaren leihatilak onartzen duen zabalera maximoa 100 metro da, eta txalupa gelditu egiten da horrenbeste desplazamendu horizontal atzematen duenean. Itzuliko bidaia abiatu aurretik kontu izan txaluparen θ angeluarekin.

Adibideak:

• Txaluparen abiadura urarekiko: v=4 m/s

• Korrontearen abiadura: c=3 m/s

Hasiera botoia sakatu.

1 adibidearen saiakuntza:

1. Har bedi θ=0º (korrontearen norabide bera) idatziz edo desplazamendu-barra mugiarazten.
   • Hasi botoia sakatu.
   • Neur bedi txalupak korrontearen alde 100 metro burutzeko tardatzen duen denbora: t₁ .

Txalupa gelditu egingo da 100 metro ibili ondoren

2. Har bedi θ=180º (korrontearen aurka) idatziz edo desplazamendu-barra mugiarazten.
   • Hasi botoia sakatu.
   • Neur bedi txalupak korrontearen aurka 100 metro burutzeko tardatzen duen denbora: t₂ .

Denbora biak batu bidaiaren iraupen osoa kalkulatzeko: t= t₁+ t₂

2 adibidearen saiakuntza:

Hasiera botoia sakatu txalupa jatorrian kokatzeko.

1. Idatz bedi θ=138.6º (justu bidaia zuzena lortzen duena) eta Enter botoia sakatu programak datua onar dezan.

• Hasi botoia sakatu.
• Neur bedi txalupak beste ertzera iristeko tardatzen duen denbora: t₁ .

Txalupa beste ertzean dagoenean eta itzulikoa abiatzeko:

2. Angelu bera erabiliz, θ=138.6º,

• Hasi botoia sakatu.
• Neur bedi txalupak jatorrira itzultzeko tardatzen duen denbora: t₂ .

Denbora biak batu bidaiaren iraupen osoa kalkulatzeko: t= t₁+ t₂

3 adibidearen saiakuntza:

Hasiera botoia sakatu txalupa jatorrian kokatzeko.

1. Har bedi θ=90º idatziz edo desplazamendu-barra mugiarazten.

• Hasi botoia sakatu.
• Neur bedi txalupak beste ertzera iristeko tardatzen duen denbora: t₁ .

Txalupa beste ertzean dagoenean eta itzulikoa abiatzeko:

2. Idatz bedi θ=163.8º (justu ibilbide bera lortzen duena) eta Enter botoia sakatu programak datua onar dezan.
• Hasi botoia sakatu.
• Neur bedi txalupak jatorrira itzultzeko tardatzen duen denbora: t₂ .

Denbora biak batu bidaiaren iraupen osoa kalkulatzeko: t= t₁+ t₂