Zinematika

Higidura erlatiboa

Higidura erlatiboa
translazio uniformeaz

Higidura erlatiboa
errotazio uniformeaz

Azelerazio zentrifugoa
eta Coriolis-ena

Foucault-en penduluaren simulazioa.

Pendulu esferikoa, errotatzen ari den Erreferentzia-sistemaren ikuspegitik

Erreferentzia

Gorputz bat Lurraren gainazalean mugitzen ari denean inertzia-indar bi jasaten ditu: indar zentrifugoa eta Coriolis-en indarra.

Coriolis-en indarrak eragiten dituen efektuak dira, besteak beste, Foucault-en penduluan oszilazio-planoak errotatzea, eguratseko aireak errotatzea presio altuko edo presio baxuko guneen inguruan, urrutirako proiektilak desbideratzea, urak isurbidetik irtetean osatzen duen zurrunbiloa, eta abar.

Indar zentrifugoak, bestalde, grabitatearen azelerazioaren moduluan eta norabidean perturbazioak eragiten ditu latitudearen arabera.

Indar errealak gorputzen arteko elkarrekintzak dira, esaterako malguki batek egiten duena, planeta baten grabitateak, gorputz kargatuen arteko indar elektrikoak edo magnetikoak eta abar. Inertzia-indarrak ordea, erreferentzia-sistema azeleratuetan soilik behatzen dira, eta horregatik sasi-indarrak edo pseudoindarrak deritze.

Indar errealez gain, inertzia-indarrak ere kontutan hartuta, Mekanikako zenbait ariketa errazago aztertzen dira, batez ere erreferentzia-sistema birakorretan, esaterako Lurra bera.

Erreferentzia-sistema ez inertzial batean behatutako v’ abiadura eta a’ azelerazioa, eta sistema inertzial batean neurtutako v abiadura eta a azelerazioa, erlazionatuta daude, honako ekuazioez:

Ekuazio horien dedukzioa Fisika orokorreko testuliburu askotan azaltzen da.

Higidura zuzen eta uniformea

Posizio-bektorea

Partikula bat X ardatzean zehar mugitzen ari da v abiadura konstanteaz. Bere posizioa t=0 aldiunean x=x₀ da. Kalkula bedi partikularen ibilbidea w abiadura angeluar konstanteaz eta erlojuaren orratzen alde biratzen ari den erreferentzia-sistema ez inertzialean.

Sistema inertziala

P partikularen posizioa denboraren menpe hau da:

Eta posizio-bektorea hau da: r=xi

Partikularen ibilbidea zuzena da.

Sistema ez inertziala x’ =x·cos(w t) y’ =x·sin(w t) Posizio bektorea honako hau: r= x·cos(w t)i’+ x·sin(w t)j’

Partikula koordenatuen jatorritik abiatzen bada t=0 aldiunean, orduan  x=v·t , eta partikulatik jatorrira dagoen r distantzia edozein t aldiunetan hau da:

Biraka ari den sistema ez inertzialak t denboran biratu duen angelua honakoa da: θ=ω·t

bilbidearen ekuazioa koordenatu polarretan honakoa da: Ibilbide hori Arkimedes-en espirala da, beheragoko appletean ikus daitekeena bezalakoa. Espiral hauxe da kasete baten zintak jarraitzen duen ibilbidea, kiribiltzen ari denean, edo disko baten orratzak deskribatzen duena.

Abiadura bektorea

Sistema inertziala

P partikularen v abiadura konstantea da.

v=vi

Sistema ez inertziala

Posizioa denborarekiko deribatuz partikularen abiadura lortzen da sistema ez inertzialean:

Konpara dezagun emaitza hori ondoko formularekin:

Eta v=vi
w = -w k
r=xi

Hona emaitza:

v’=vi+w xj

Orain aurki dezagun erlazio bat, OXY erreferentzia-sistema inertzialaren i,j bektore unitarioen eta OX'Y' erreferentzia-sistema ez inertzialaren i',j' bektore unitarioen artean:

Berriz ere v’ abiadura bektorea adieraz daiteke:

Azelerazio-bektorea

Sistema inertziala

P partikularen v abiadura konstantea da, bai modulua zein norabidea:

a=0

Sistema ez inertziala

Abiaduraren osagaiak denborarekiko deribatuz, a' azelerazioa lortzen da sistema ez inertzialean:

Egiazta dezagun orain dagokion formula:

Ezagunak diren datuak hauek dira:

a=0, higidura uniformea da erreferentzia-sistema inertzialean.

w = -w k
r= x·cos(w t)i’+ x·sin(w t)j’
v’=(v·cos(w t)- x·w ·sin(w t))i’+(v·sin(w t)+ x·w ·cos(w t))j’

Kalkula dezagun azelerazioaren termino bakoitza bere aldetik:

Coriolis-en azelerazioa

-2w ´ v’=-2(-w k)(v_xi’+v_yj’)=-2w v_yi’+2w v_xj’

=-2w (v·sin(w t)+ x·w ·cos(w t))i’+2w (v·cos(w t)- x·w ·sin(w t))j’

Irudiak erakusten duenez, Coriolis-en azelerazioa beti da v' abiadurarekiko perpendikularra. Ezkerreko irudian erakusten da biderketa bektoriala espazioan eta eskumakoan gauza bera baina planoan.

Azelerazio zentrifugoa

-w ´ (w ´ r)

hemen  r= x·cos(w t)i’+ x·sin(w t)j’

-w ´ (w ´ r)=-(-w k) ´ (w ·x·sin(w t)i’-w ·x·cos(w t)j’)

=w²·x·cos(w t)i’+w²·x·sin(w t)j’

Irudiak biderketa bektorial hirukoitza erakusten du. Azelerazio zentrifugoak norabide erradiala du.

Termino bien batura idatziz, a' lortzen da, alegia azelerazioa erreferentzia-sistema ez inertzialean:

a’=(-2w ·v·sin(w t)- w²·x·cos(w t))i’+(2w ·v·cos(w t)- w²·x·sin(w t))j’

Saiakuntza

Honako datuok aukeratu behar dira:

• Higikariaren abiadura, v, konstantea.
• Erreferentzia-sistema ez inertzialaren w  Abiadura angeluarra.
• Partikularen Hasierako posizioa, x₀, desplazamendu barra mugiarazten.

Hasi botoia sakatu.

Bektoreak laukia aktibatuz, programak abiadura, azelerazio zentrifugoa eta Coriolisena erakusten ditu.

Foucault-en penduluaren simulazioa

1851 urtean Jean Leon Foucault-ek 67 metroko pendulu bat eraiki zuen Pariseko Elbarrien kupulan. Sokatik eskegita hondarrez betetako ontzi bat zeukan eta hondarra askatzen zuen apurka apurka bere ibilbidea seinalatuta uzteko. Esperimentu horrek frogatu zuen oszilazio-planoak errotatu egiten zuela 11º 15’ ordu bakoitzeko, eta horrekin Lurrak errotatzen duela. Esperimentu horrekin Lurraren errotazioa froga daiteke erabat lainotuta egon arren.

Orri honetako simulazioan penduluaren mugimendua ordezkatzen da P puntu baten oszilazio harmoniko sinpleez:

x=Acos(w_pt)

Eta hemen w_p pendulu simulatuaren oszilazioen maiztasun angeluarra da.

OX’Y’ erreferentzia-sistema ez inertzialeko ibilbidea irudika daiteke, honako transformazioa aplikatuz:

x’=x·cos(w t)=Acos(w_pt)·cos(w t)
y’=x·sin(w t)=Acos(w_pt)·sin(w t)

Eta hemen w erreferentzia-sistemaren errotazio-abiadura angeluarra da.

Irudiak ibilbide-mota hori erakusten du, alegia penduluaren oszilazioen planoak biratu egiten duela. Pendulua A posiziotik abiatzen da baina B posiziora bueltatzen da. Oszilazio bakar batean biratutako angelua honela idatz daiteke: Dq =w ·P, eta hemen P=2p/w_p  penduluaren oszilazioen periodoa da.

Ordubete oszilatzen egon ondoren, penduluaren oszilazio-planoak biratutako angelu osoa izango da, Dq  hori bider penduluak burututako oszilazio kopuru totala:

Dq·60·60/P=w ·60·60=15º ordu bakoitzeko

Kontutan izan da Lurraren errotazioaren abiadura angeluarra, w : 360º/ 24 ordutan.

Lurrean, l latitudeko toki batean, oszilazioen planoak biratutako angelua ez da 15º, 15º·sin λ baizik, w abiadura angeluar bektoreak 90º-λ angelua osatzen duelako norabide bertikalarekin, irudiak erakusten duen bezala. Izan ere, fenomeno horren sortzailea Coriolis-en azelerazioa da, alegia honako biderketa bektoriala:  -2w ´ v.

Pariseko latitudea gutxi gora behera 49º da, hortaz Foucault-en penduluak ordubetean biratutako angelua 11.3º da.

Kasu berezia w=w_p

Ibilbidearen ekuazio parametrikoak honakoak dira:

x’=Acos(w·t)·cos(w t) (A/2)(1+cos(2w ·t))
y’=Acos(ω·t)·sin(w t)=A/2)sin(2w ·t)

Ekuazio parametrikoetatik denbora eliminatuz zirkunferentzia baten ekuazioa lortzen da, A/2 erradioduna eta (A/2, 0) puntuan zentratua.

Saiakuntza

Aukeratu  beharreko datuak:

• Erreferentzia-sistemaren w  abiadura angeluarra, zenbaki oso batez.
• Higidura harmoniko sinplearen w_p maiztasun angeluarra, beste zenbaki oso batez.

Hasi botoia sakatu.

Adibide interesgarria da, eta merezi du, plataformaren abiadura angeluarra eta higidura harmoniko sinplearen maiztasun angeluarra berdinak direnean: w=w_p.

Pendulu esferikoa Erreferentzia-sistema EZ inertzialaren ikuspegitik

Pendulu esferikoa da, higidura harmoniko sinple bi konposatuta, maiztasun angeluar berekoak, w_p, elkarren perpendikularrak eta 90º-ko desfaseaz. erreferentzia-sistema inertzialean, hona bere ekuazioak:

x=Acos(w_p·t)
y=Bsin(w_p·t)

Ekuazio parametriko bi horietatik t denbora eliminatuz, partikularen ibilbidea lortzen da, alegia  alboko irudiak erakusten duen elipsea, A eta B ardatzerdiduna:

Aldiune batean partikulatik jatorriraino r distantzia badago eta q angelua osatzen badu X ardatzarekin honela idatz daiteke bere posizioa:

x=r·cosθ
y=r·sinθ

Erreferentzia-sistema EZ inertziala biraka ari da, w abiadura angeluar konstanteaz, irudian urdinez marraztutakoa. Partikularen posizioa erreferentzia-sistema EZ inertzial horretan honakoa da:

x’=r·cos(θ+w·t)= x·cos(w ·t)-y·sin(w ·t)
y’=r·sin(θ+w·t)= x·sin(w ·t)+y·cos(w ·t)

Orduan, pendulu esferikoaren ekuazio parametrikoak erreferentzia-sistema ez inertzialaren ikuspegitik:

x’= Acos(w_p·t)·cos(w ·t)- Bsin(w_p·t)·sin(w ·t)
y’= Acos(w_p·t)·sin(w ·t)+ Bsin(w_p·t)·cos(w ·t)

Kasu bereziak: w_p=±w

1. Baldin B=0, penduluaren mugimendua higidura harmoniko sinplea da X ardatzean, baina sistema ez inertzialean:

x’= Acos(w·t)·cos(w ·t)=(A/2)(1+cos(2w ·t))
y’= Acos(w_p·t)·sin(w ·t)= (A/2)sin(2w ·t)

Ekuazio parametriko bi horietatik t eliminatuz, zirkunferentzia bat lortzen da, A/2 erradioduna eta (A/2, 0) puntuan zentratuta.

2. Baldin A=B, penduluak ibilbide zirkularra deskribatzen du, baina sistema ez inertzialean:

x’= Acos(w·t)·cos(w ·t)- Asin(w·t)·sin(w ·t)= Acos(2w·t)
y’= Acos(w·t)·sin(w ·t)+ Asin(w·t)·cos(w ·t)= Asin(2w·t)

Penduluak ibilbide zirkularra deskribatzen du, jatorrian zentratua eta 2w maiztasunez.

3. Baldin A=B eta w_p= -w, penduluak ibilbide zirkularra jarraitzen du, baina sistema ez inertzialean:

x’= Acos(w·t)·cos(w ·t)+ Asin(w·t)·sin(w ·t)= A
y’= Acos(w·t)·sin(w ·t)- Asin(w·t)·cos(w ·t)= 0

Ibilbidea puntu finko bat da: (A, 0).

4. Baldin A≠B, penduluak ibilbide eliptikoa jarraitzen du, baina sistema ez inertzialean:

x’= Acos(w·t)·cos(w ·t)- Bsin(w·t)·sin(w ·t)= Acos²(w·t)- Bsin²(w·t)=A- (A+B)sin²(w·t)

y’= Acos(w·t)·sin(w ·t)+ Bsin(w·t)·cos(w ·t)=(A/2) sin(2w ·t)+(B/2) sin(2w ·t)

Ekuazio parametriko bietatik t denbora eliminatuz, zirkunferentzia baten ekuazioa lortzen da, (A+B)/2 erradioduna, eta ((A-B)/2, 0) puntuan zentratua.

Saiakuntza

Aukeratu beharreko datuak:

• Higidura harmoniko sinplearen w_p maiztasun angeluarra, zenbaki oso batez.
• Erreferentzia-sistema ez inertzialaren w abiadura angeluarra zenbaki oso batez.
• Gainezarritako Higidura Harmoniko Sinple eta perpendikular bien anplitudeen arteko erlazioa: B/A.

Hasi botoia sakatu.

Adibide interesgarria da, HHS-aren maiztasun angeluarra eta plataformaren errotazio abiadura angeluarra berdinak direnean: w_p=±w.