Análisis de Fourier de una función periódica
Pasaremos ahora al estudio de los procedimientos numéricos para hallar una integral definida. Comenzaremos por el procedimiento más simple denominado de los trapecios, y describiremos otro procedimiento más elaborado denominado de Simpson, que produce muy buenos resultados con un poco más de código. Terminaremos esta serie con una aplicación de la integración numérica al cálculo de los coeficientes de Fourier de una función periódica, que tanta importancia tienen en las Matemáticas, la Física y la Ingeniería.
Seguiremos el modelo adoptado para codificar el procedimiento para hallar las raíces de una ecuación trascendente. Crearemos una clase base abstracta con una función miembro que describe el procedimiento numérico, y una clase derivada que definirá la función a integrar. Para calcular la integral definida, crearemos un objeto de la clase derivada y llamaremos desde éste al procedimiento numérico, pasándole el principio y final del intervalo y el número de divisiones.
Recordaremos brevemente, el concepto de integral definida antes de introducir los métodos numéricos: si una función f(x) es continua en el intervalo [a,b] y conocemos la función primitiva F(x), la integral definida de esta función de a a b se puede calcular mediante la fórmula.
Sin embargo, en muchos casos la función primitiva F(x) no puede hallarse por medios elementales o resulta muy complicado, o bien, por que la función f(x) viene especificada en forma tabular y entonces el concepto de función primitiva carece de sentido. En estos casos, se recurre a sustituir la función dada por un polinomio cuya función primitiva es fácil de calcular y de esta forma se obtiene el valor aproximado de la integral de la función f(x) extendida al intervalo [a, b].
La aproximación de una función periódica mediante una suma de armónicos es un problema importante en las Matemáticas, la Física y las Ingenierías, baste citar todos los fenómenos vibratorios, ondulatorios que son fundamento de la acústica, de las telecomunicaciones, etc.