Procedimientos numéricos en lenguaje Java

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Funciones recursivas

Tratamiento de datos

Los números complejos

Matrices y vectores

Raíces de una ecuación

Integral definida

Ecuaciones diferenciales

Los métodos de Montecarlo


Funciones recursivas

La recursividad es la característica que tienen las  funciones de poderse llamar a sí mismas. En dos páginas web se explica la geometría de la tortuga. La generación de las curvas fractales de Koch, Peano y Hilbert. Y la recursividad en Física, que emplearemos en el cálculo de los polinomios de Hermite para representar las funciones de onda del oscilador armónico cuántico.

 

Tratamiento de datos

Comenzaremos este curso con los ejemplos que nos permitan progresar en uno de los aspectos clave de la Programación Orientada a Objetos, la encapsulación. Cómo crear una clase que describa un determinado tipo de problema de las Matemáticas, y cómo traducir las fórmulas matemáticas a código.

Estudiaremos en primer lugar, la Estadística: la media aritmética y las medidas de dispersión. A continuación, la regresión lineal, es decir la determinación de la ecuación de la recta que mejor ajusta a una distribución bidimensional de datos.

Finalmente, se explicará el método de los mínimos cuadrados para aproximar un polinomio a un conjunto de datos experimentales.

Los números complejos

Se explicará cómo se crea una clase denominada Complejo, y cómo se definine las operaciones entre números complejos: suma, producto y cociente de dos números, el producto y cociente de un número complejo por un número real, la potencia de un número complejo a un exponente entero, que se utiliza para calcular el valor numérico de una función polinomómica cuando su variable x es un número complejo.

Otras cuestiones que trataremos serán, la representación polar de un número complejo, el conjugado de un número complejo, y la forma en la que podemos mostrar un número complejo redefiniendo la función miembro toString de la clase base Object.

 

Matrices y vectores

El cálculo matricial es muy importante en la Física y en las Matemáticas. En concreto, se ha empleado las operaciones entre matrices cuyos elementos son números complejos en el cálculo de los niveles de energía de un conjunto de pozos de potencial.

En esta página, definiremos la clase Matriz cuadrada y las operaciones entre matrices, suma y producto de dos matrices, el producto de una matriz por un vector, el producto de una matriz por un escalar. Hallaremos el determinante de una matriz, la matriz inversa y traspuesta de una matriz dada.

Como aplicaciones, resolveremos un sistema de ecuaciones lineales, obtendremos el polinomio característico, y hallaremos los valores y los vectores propios de una matriz por el método de Jacobi.

 

Raíces de una ecuación

Se estudia los procedimientos numéricos de cálculo para hallar las raíces de una ecuación trascendente, y para hallar las raíces de un polinomio. El cálculo de las raíces de un polinomio puede efectuarse con los mismos procedimientos que para una ecuación en general, sin embargo, aprovechando las propiedades de dichas raíces se elaboran métodos específicos para este tipo de ecuaciones. Entre estos últimos, hemos de destacar el método de Graeffe muy apropiado para ser codificado y usado en los ordenadores.

Como ejemplo, aplicaremos el procedimiento del punto medio para calcular los niveles de energía de un pozo de potencial.

 

Integral definida

Se estudia dos procedimientos numéricos para hallar una integral definida,  comenzando por el procedimiento más simple denominado de los trapecios y a continuación, se describirá otro procedimiento más elaborado denominado de Simpson, que produce muy buenos resultados con un poco más de código. Se terminará este tema con una aplicación de la integración numérica al cálculo de los coeficientes de Fourier de una función periódica, que tanta importancia tienen en las Matemáticas, la Física y la Ingeniería.

 

Ecuaciones diferenciales

Se estudia el procedimiento de Runge-Kutta para la resolución de ecuaciones diferenciales. Veremos como se aplica de forma directa a una ecuación diferencial de primer orden, y veremos como se extienden a un sistema de ecuaciones de primer orden, a un ecuación diferencial de segundo orden, y a un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Como ejemplo, discutiremos el movimiento de un planeta.

 

Los métodos de Montecarlo

Los métodos de Montecarlo abarcan una colección de técnicas que permiten obtener soluciones de problemas matemáticos o físicos por medio de pruebas aleatorias repetidas. En la práctica, las pruebas aleatorias se sustituyen por resultados de ciertos cálculos realizados con números aleatorios. Estudiaremos el concepto de variable aleatoria y la transformación de una variable aleatoria discreta o continua, y fundamentaremos varios ejemplos del Curso Interactivo de Física: