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Las matrices cuadradas |
Mostrar un vector y una matriz
Operaciones con matrices y vectores
En esta página, definiremos la clase Vector y la clase Matriz cuadrada, las operaciones entre matrices, suma y producto de dos matrices, el producto de una matriz por un vector, el producto de una matriz por un escalar, la traza de una matriz y la matriz traspuesta de una matriz dada.
Un vector es un array unidimensional de números. Se define la clase Vector con dos miembros dato, el número de datos que guarda y el array unidimensional que guarda dichos datos.
public class Vector {
public int n;
double[] x;
La clase Vector y la clase Matriz están en el mismo paquete. El miembro dato x de la clase Vector tiene el control de acceso por defecto, es decir, público dentro del mismo paquete pero privados fuera del paquete. Más abajo, en esta página al definir las funciones miembro de la clase Matriz que realizan operaciones entre matrices y vectores veremos que, los objetos de la clase Vector necesitan acceder a su miembro dato x.
Una matriz es un array bidimensional de números. En general, decimos que una matriz tiene una dimensión m x n, cuando los números están dispuestos en m filas y n columnas.
Se denominan matrices cuadradas a aquellas que tienen el mismo número de filas que de columnas. Estas matrices tienen especial importancia y serán las que tratemos en estas páginas.
public class Matriz{
public int n;
private double[][] x;
La clase Matriz tiene dos miembros dato, la dimensión de la matriz n, y un array bidimensional x, que crearemos e inicializaremos en los constructores.
Vamos a definir dos constructores en la clase Vector, al primero se le pasa el número de elementos que va a guardar e inicializan a cero todos sus elementos.
public Vector(int n) {
this.n=n;
x=new double[n];
for(int i=0; i<n; i++){
x[i]=0.0;
}
}
Para crear un vector v de dimensión tres se escribe
Vector v=new Vector(3);
Al segundo constructor, se le pasa el array unidiemensional, e inicializa el miembro dato x con los valores que guardan los elementos de dicho array en una única y simple operación de asignación
public Vector(double[] x) {
this.x=x;
n=x.length;
}
Para crear un vector v que guarde los datos del array v1 se escribe
double[] v1={1, 2, 3};
Vector v=new Vector(v1);
Para la clase Matriz necesitamos definir dos constructores, al primero se le pasa la dimensión n de la matriz cuadrada, creando un array bidimensional de n filas y n columnas, e inicializa todos sus elementos a cero.
public Matriz(int n) {
this.n=n;
x=new double[n][n];
for(int i=0; i<n; i++){
for(int j=0; j<n; j++){
x[i][j]=0.0;
}
}
}
Para crear una matriz a de dimensión tres cuyos elementos son todos ceros, se escribe.
Matriz a=new Matriz(3);
Al segundo constructor, se le pasa un array bidimensional, e inicializa el miembro dato x con los valores que guardan los elementos de dicho array en una única y simple operación de asignación.
public Matriz(double[][] x) {
this.x=x;
n=x.length;
}
Para crear la matriz a
se crea un array bidimensional a1, y se le pasa al constructor de la clase Matriz
double[][] a1={{1, 2, 3},{-2, -4, -5},{3, 5, 6}};
Matriz a=new Matriz(a1);
public class Vector {
public int n; //dimensión
double[] x;
public Vector(int n) {
this.n=n;
x=new double[n];
for(int i=0; i<n; i++){
x[i]=0.0;
}
}
public Vector(double[] x) {
this.x=x;
n=x.length;
}
//otras funciones miembro
}
**************************************** public class Matriz{
public int n; //dimensión
private double[][] x;
public Matriz(int n) {
this.n=n;
x=new double[n][n];
for(int i=0; i<n; i++){
for(int j=0; j<n; j++){
x[i][j]=0.0;
}
}
}
public Matriz(double[][] x) {
this.x=x;
n=x.length;
}
//otras funciones miembro
}
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Para mostrar un vector redefinimos la función toString de la clase base Object, de la cual deriva implícitamente Vector. Separamos sus elementos mediante el carácter tabulador '\t'.
public String toString(){
String texto=" ";
for(int i=0; i<n; i++){
texto+="\t "+(double)Math.round(1000*x[i])/1000;
}
texto+="\n";
return texto;
}
Vamos añadiendo al string texto, los elementos del vector y el carácter separador entre elementos, limitamos el número de decimales a tres mediante la función Math.round. Para concluir la fila y pasar a la siguiente en la pantalla de texto, añadimos un carácter retorno de carro '\n'. Mediante la operación + definida en la clase String podemos concatenar fácilmente los distintos elementos y crear la representación textual del vector que devuelve la función toString
Para mostrar el vector v en la pantalla de texto, basta escribir la sentencia
Vector v=new Vector(v1); System.out.println(v);
Mostrar una matriz en la pantalla de texto es difícil, ya que Java no dispone de una función que sitúe el cursor de texto en una posición de la pantalla, como lo hace la función gotoxy disponible en los lenguajes C/C++. La única alternativa que nos queda es mostrar los elementos de una fila unos a continuación de los otros separados por un tabulador, después otra fila y así hasta mostrar todos los elementos de la matriz.
Para mostrar los elementos de la matriz, redefinimos la función toString de la clase base Object, de la cual deriva implícitamente Matriz. Separamos los elementos de una fila mediante el carácter tabulador '\t', y limitamos el número de decimales a tres mediante la función Math.round. Cuando se acaba una fila se inserta un retorno de carro '\n' y se continua con la siguiente fila, y así sucesivamente.
for(int j=0; j<n; j++){
texto+="\t "+(double)Math.round(1000*x[i][j])/1000;
}
texto+="\n";
Vamos añadiendo al string texto, los elementos de la matriz y los caracteres separadores entre elementos y entre filas de elementos.
public String toString(){
String texto="\n";
for(int i=0; i<n; i++){
for(int j=0; j<n; j++){
texto+="\t "+(double)Math.round(1000*x[i][j])/1000;
}
texto+="\n";
}
texto+="\n";
return texto;
}
Para mostrar una matriz a en la pantalla de texto basta escribir la sentencia
Matriz a=new Matriz(a1); System.out.println(a);
public class Vector {
public int n; //dimensión
double[] x;
//...
public String toString(){
String texto=" ";
for(int i=0; i<n; i++){
texto+="\t "+(double)Math.round(1000*x[i])/1000;
}
texto+="\n";
return texto;
}
}
**************************** public class Matriz{
public int n; //dimensión
private double[][] x;
//...
public String toString(){
String texto="\n";
for(int i=0; i<n; i++){
for(int j=0; j<n; j++){
texto+="\t "+(double)Math.round(1000*x[i][j])/1000;
}
texto+="\n";
}
texto+="\n";
return texto;
}
}
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Cuando calculamos la matriz inversa de una dada, pasamos una matriz en el único parámetro de la función estática denominada inversa. En el cuerpo de dicha función se realizan operaciones con los elementos de dicha matriz. Dado que en Java se pasan por valor las referencias a objetos, la matriz original resulta modificada en el curso de la llamada a la función inversa.
Si queremos mantener la matriz original, hacemos una copia de dicha matriz en el cuerpo de la función y realizamos las operaciones con la matriz copia dejando la original sin modificar.
Para realizar una copia hemos de implementar el interface Cloneable, y redefinir la función miembro clone de la clase base Object, de la cual derivan todas las clases en Java. El primer paso es la llamada a la función clone de la clase base Object.
public class Matriz implements Cloneable{
public int n; //dimensión
private double[][] x;
//..........
public Object clone(){
Matriz obj=null;
try{
//llama a clone de la clase base Object
obj=(Matriz)super.clone();
}catch(CloneNotSupportedException ex){
System.out.println(" no se puede duplicar");
}
//copia la matriz bidimensional
obj.x=(double[][])obj.x.clone();
for(int i=0; i<obj.x.length; i++){
obj.x[i]=(double[])obj.x[i].clone();
}
return obj;
}
}
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Para obtener una copia a de una matriz d se escribe.
Matriz a=(Matriz)d.clone();
La promoción (casting) es necesaria ya que clone devuelve una referencia a un objeto de la clase base Object.
Se denomina traza de una matriz cuadrada a la suma de los elementos de su diagonal principal.
public double traza(){
double tr=0.0;
for(int i=0; i<n; i++){
tr+=x[i][i];
}
return tr;
}
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Para obtener la traza de la matriz a de la sección anterior se escribe
double traza=a.traza();
Cuando se suman dos matrices de las mismas dimensiones
Se obtiene otra matriz c en la que sus elementos cij son las suma de los correspondientes elementos de las matrices a y b, es decir
cij=aij+bij
Para sumar dos matrices, se define una función miembro estática denominada suma. Dentro de la función, se crea una matriz temporal resultado, con la misma dimensión de las matrices que intervienen en la operación, y se guardan en sus elementos el resultado de la suma de las matrices a y b. Finalmente, la función suma devuelve la matriz resultado.
public static Matriz suma(Matriz a, Matriz b){
Matriz resultado=new Matriz(a.n);
for(int i=0; i<a.n; i++){
for(int j=0; j<a.n; j++){
resultado.x[i][j]=a.x[i][j]+b.x[i][j];
}
}
return resultado;
}
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Veamos ahora como se llama a la función que suma dos matrices.
double[][] a1={{1, 2, 3},{4,5,6},{7,8,9}};
Matriz a=new Matriz(a1);
double[][] b1={{1, 0, -1},{2,1,3},{-1, 0, 2}};
Matriz b=new Matriz(b1);
Matriz re=Matriz.suma(a, b);
System.out.println("matriz "+re);
La regla para multiplicar dos matrices es bastante más complicada que para sumar dos matrices de las mismas dimensiones. En general, se pueden multiplicar dos matrices de dimensiones m x n y n x q, dando como resultado una matriz de dimensiones m x q. En este apartado nos circunscribiremos exclusivamente a matrices cuadradas de dimensión n.
Los elementos cij se obtienen multiplicando los elementos aik de la fila i por los elementos akj de la columna j, y sumando los resultados.
La codificación se realiza empleando un tripe bucle for, guardando en los elementos de la la matriz local resultado la suma de los productos de la fórmula anterior.
public static Matriz producto(Matriz a, Matriz b){
Matriz resultado=new Matriz(a.n);
for(int i=0; i<a.n; i++){
for(int j=0; j<a.n; j++){
for(int k=0; k<a.n; k++){
resultado.x[i][j]+=a.x[i][k]*b.x[k][j];
}
}
}
return resultado;
}
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Otras variantes de la operación producto son:
El producto de un escalar (número real) por una matriz que da como resultado otra matriz cuyos elementos están todos multiplicados por dicho escalar. Se define también la operación conmutativa
public static Matriz producto(double d, Matriz a){
Matriz resultado=new Matriz(a.n);
for(int i=0; i<a.n; i++){
for(int j=0; j<a.n; j++){
resultado.x[i][j]=a.x[i][j]*d;
}
}
return resultado;
}
Al multiplicar una matriz cuadrada de dimensión n, por un vector columna de la misma dimensión obtenemos otro vector columna. Cada elemento del vector resultante se obtiene multiplicando los elementos de una fila de la matriz por los correspondientes elementos del vector columna y se suman los resultados. La codificación de esta función producto es la siguiente:
public static Vector producto(Matriz a, Vector v){
int n=v.n;
Vector b=new Vector(n);
for(int i=0; i<n; i++){
for(int k=0; k<n; k++){
b.x[i]+=a.x[i][k]*v.x[k];
}
}
return b;
}
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Al multiplicar un vector fila por una matriz cuadrada de la misma dimensión obtenemos otro vector fila. El código es semejante al de la función producto definida previamente.
public static Vector producto(Vector v, Matriz a){
int n=v.n;
Vector b=new Vector(n);
for(int j=0; j<n; j++){
for(int k=0; k<n; k++){
b.x[j]+=v.x[k]*a.x[k][j];
}
}
return b;
}
Una matriz traspuesta de otra matriz es aquella que tiene los mismos elementos pero dispuestos en forma distinta. Las columnas de la matriz original se transforman en filas de la matriz traspuesta. La definición de la función estática traspuesta no reviste dificultad alguna
public static Matriz traspuesta(Matriz a){
int n=a.n;
Matriz resultado=new Matriz(a.n);
for(int i=0; i<n; i++){
for(int j=0; j<n; j++){
resultado.x[i][j]=a.x[j][i];
}
}
return resultado;
}
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Para hallar la matriz traspuesta de la matriz a se escribe
double[][] a1={{1, 2, 3},{4,5,6},{7,8,9}};
Matriz a=new Matriz(a1);
Matriz tras=Matriz.traspuesta(a);
System.out.println("matriz traspuesta"+tras);