El método de las aproximaciones sucesivas
Raíces de un polinomio. Método de Graeffe
En estas páginas estudiaremos los procedimientos numéricos para hallar las raíces de una ecuación trascendente, y para hallar las raíces de un polinomio. El cálculo de las raíces de un polinomio puede efectuarse con los mismos procedimientos que para una ecuación en general, sin embargo, aprovechando las propiedades de dichas raíces se elaboran métodos específicos para este tipo de ecuaciones. Entre estos últimos, hemos de destacar el método de Graeffe muy apropiado para ser codificado y usado en los ordenadores.
En las primeras páginas, describiremos dos procedimientos para obtener las raíces de una ecuación trascendente: el método de las aproximaciones sucesivas y el procedimiento del punto medio. Existen otros procedimientos como el gráfico, de las partes proporcionales, el método de las tangentes o método de Newton. Cada procedimiento tiene, sin duda, sus ventajas e inconvenientes, e incluso se pueden combinar varios procedimientos a la vez.
El procedimiento gráfico consiste en representar la función en un intervalo dado y
observar cuantas veces cruza el eje X en dicho intervalo. Si el eje X está
convenientemente etiquetado y la resolución es suficiente, este procedimiento nos da una
primera aproximación a las raíces de la ecuación.
- Raíces simples
- Raíces múltiples
- El pozo de potencial
Los procedimientos iterativos son muy importantes en el cálculo numérico, y consisten en repetir la misma rutina una y otra vez hasta que se cumpla una determinada condición de terminación del proceso de iteración. Estos procedimientos son muy fáciles de codificar y se prestan especialmente para ser usados en los ordenadores.
Para hallar las raíces de una función trascendente, crearemos una clase base abstracta con una función miembro que describe el procedimiento numérico, y una clase derivada que definirá la función cuyas raíces deseamos calcular en un intervalo dado. Para calcular las raíces, crearemos un objeto de la clase derivada y llamaremos desde éste al procedimiento numérico, pasándole el principio y final de dicho intervalo.
En muchos campos de las matemáticas, es necesario hallar las raíces de un polinomio, por ejemplo, al hallar la integral de una función racional, en la transformada de Laplace, etc. Existen fórmulas exactas si el polinomio tiene un grado igual o inferior a cuatro. Excepto para los polinomios de primer y segundo grado, las fórmulas son complicadas, por lo que se emplean procesos de aproximación numérica. Entre los numerosos métodos que existen el más conocido es quizá el método de Newton. Sin embargo, describiremos un método debido a Graeffe realmente ingenioso, que nos proporciona gran exactitud en las raíces de un polinomio.
Para calcular las raíces de un polinomio, crearemos una clase específica, cuyas funciones miembro realizan distintas tareas, entre otras las siguientes:
- cuando el polinomio tiene una raíz compleja y su correspondiente conjugada
- cuando el polinomio tiene dos raíces complejas y sus correspondientes conjugadas.