Fuerza magnética sobre conductor rectilíneo

prev.gif (1231 bytes)home.gif (1232 bytes)next.gif (1211 bytes)

Electromagnetismo

Campo magnético
marca.gif (847 bytes)Fuerza sobre un
  conductor rectilíneo
La balanza de
corriente
Fuerza y momento 
sobre una espira
El galvanómetro
La rueda de Barlow

Corriente rectilínea
La espira
El solenoide y el
toroide
Oscilaciones de
un imán (I)
Oscilaciones de
un imán (II)
Intensidad de la corriente

Fuerza sobre una porción de conductor rectilíneo

java.gif (886 bytes)Actividades

Fuerza sobre un circuito cerrado

Referencias

 

Intensidad de la corriente

La intensidad de la corriente eléctrica es la carga que atraviesa la sección normal S del conductor en la unidad de tiempo. En el estudio del motor iónico vimos el significado de flujo másico y flujo de carga o intensidad

intensidad.gif (1835 bytes) Sea n el número de partículas por unidad de volumen, v la velocidad media de dichas partículas, S la sección del haz y q la carga de cada partícula.

La carga Q que atraviesa la sección normal S en el tiempo t, es la contenida en un cilindro de sección S y longitud v·t.

Carga Q= (número de partículas por unidad de volumen n)·(carga de cada partícula q)· (volumen del cilindro Svt)

Q=n·qS·v·t

Dividiendo Q entre el tiempo t obtenemos la intensidad de la corriente eléctrica.

i=nqvS

La intensidad es el flujo de carga o la carga que atraviesa la sección normal S en la unidad de tiempo, que es el producto de los siguientes términos:

  • Número de partículas por unidad de volumen, n
  • La carga de cada partícula, q.
  • El área de la sección normal, S
  • La velocidad media de las partículas, v.

 

Fuerza sobre una porción de conductor rectilíneo.

En el espectrómetro de masas o en el ciclotrón, ya hemos estudiado la fuerza que ejerce un campo magnético sobre un portador de carga y el movimiento que produce.

En la figura, se muestra la dirección y sentido de la fuerza que ejerce el campo magnético B sobre un portador de carga positivo q, que se mueve hacia la izquierda con velocidad v.

Calculemos la fuerza sobre todos los portadores (nSL) de carga contenidos en la longitud L del conductor.

El vector unitario ut=v/v tiene la misma dirección y sentido que el vector velocidad, o el sentido en el que se mueven los portadores de carga positiva.

En el caso de que el conductor no sea rectilíneo, o el campo magnético no se constante, se ha de calcular la fuerza sobre un elemento de corriente dl

  • Las componentes de dicha fuerza dFx y dFy
  • Se ha de comprobar si hay simetría de modo que alguna de las componentes sea nula
  • Finalmente, se calculará por integración las componentes de la fuerza total F

En el apartado, "Fuerza sobre un circuito cerrado", se proporcionan algunos ejemplos

 

Actividades

Para demostrar la fuerza que ejerce un campo magnético sobre una corriente eléctrica se construye un dispositivo consistente en un potente imán que produce un campo de 500 gauss o B=0.05 T, sobre cuyo polo norte se pegan dos raíles hechos con láminas de cobre. La porción de conductor es una varilla de cobre de L=15 cm de longitud.

La corriente se suministra mediante una descarga en arco de i=60 A. La corriente y el campo son perpendiculares, por lo que la fuerza sobre la varilla es

Fm=iBL=0.05·60·0.15=0.45 N

Si la masa de la varilla es de 1.35 g, su aceleración es de 333.3 m/s2. Las elevadas aceleraciones conseguidas podrían sugerir que se podría emplear la varilla como proyectil de un cañón electromagnético.

La velocidad de la varilla al final de los raíles de 50 cm es

Se introduce

  • La intensidad del campo magnético (gauss), en el control de edición titulado Campo magnético
  • Intensidad de la corriente (A), en el control de edición titulado Intensidad
  • Longitud de la varilla, entre 5 y 20 cm, en el control de edición titulado Longitud
  • Masa de la varilla (g), en el control de edición titulado Masa

Se pulsa el botón titulado Empieza,

Se observa el movimiento de la varilla. En la parte superior del applet, se nos informa de la posición y velocidad de la varilla en función del tiempo.

Pulsando en el botón titulado Pausa, se detiene el movimiento y se muestra el vector campo B, el sentido de la corriente, y el vector fuerza F sobre la varilla. Para que la varilla continúe su movimiento se pulsa el mismo botón titulado ahora Continua.

 

SolenoideApplet aparecerá en un explorador compatible JDK 1.1
                                          

 

Fuerza sobre un circuito cerrado

Vamos a calcular las fuerzas que actúan sobre un circuito cerrado que transporta una corriente constante y que está situado en un campo magnético uniforme perpendicular al plano que contiene el circuito.

  1. Consideremos el ejemplo de la figura, un circuito formada por una porción semicircular de radio R y su diámetro.

Supondremos que el campo magnético B es uniforme perpendicular al plano del circuito y apunta hacia el lector. La corriente constante de intensidad i circula en el sentido de las agujas del reloj

La fuerza que ejerce el campo magnético sobre una porción dl de una corriente es dF=i(ut×B)dl

  • Fuerza sobre la porción rectilínea AC

La fuerza que ejerce el campo magnético sobre el elemento de corriente de longitud dx tiene:

  • por módulo, dF=i(1·B·sen90º)·dx=iB·dx

  • dirección, perpendicular al plano determinado por ut y B,  el eje Y

  • sentido, positivo.

La fuerza sobre todos los elementos de corriente tienen la misma dirección y sentido. La resultante tiene

  • por módulo,

  • dirección, el eje Y

  • sentido, positivo

En forma vectorial, FAC=2iBRj

  • Fuerza sobre la porción semicircular ABC

La fuerza que ejerce el campo magnético sobre el elemento de corriente de longitud dl=R·dθ tiene:

  • por módulo, dF=i(1·B·sen90º)·dl=iBR·dθ

  • dirección, perpendicular al plano determinado por ut y B,  radial

  • sentido, hacia el centro

Hallamos las componentes rectangulares de la fuerza dF,

dFx=-dF·cosθ=-iBR·cosθ ·dθ
dFy=-dF
·senθ=-iBR·senθ ·dθ

Calculamos las componentes de la fuerza resultante.

Por simetría, la componente Fx debe ser nula, sin necesidad de calcular la integral

En forma vectorial, FABC=-2iBRj

  • La fuerza resultante sobre el circuito ABCA es nula

 F=FAC+ FABC =2iBRj-2iBRj=0

  1. Vamos a generalizar este resultado, probando con un circuito cerrado de una forma más irregular

Consideremos el circuito ABCDA, recorrido en sentido horario por una corriente de intensidad i. Vamos a calcular la fuerza que ejerce el campo magnético B, uniforme, perpendicular al plano del circuito y dirigido hacia el lector sobre cada una de las porciones del circuito.

 

  • La porción AB, es un cuarto de circunferencia de radio r.

En el apartado anterior, calculamos la fuerza sobre un elemento de corriente de longitud dl=r· y las componentes de dicha fuerza. Calculamos ahora, las componentes de la fuerza resultante

En forma vectorial, FAB=iBri+iBrj

  • La porción BC es un segmento rectilíneo vertical de longitud R-r

La fuerza que ejerce el campo magnético sobre esta porción de corriente tiene

  • por módulo, FBC=iB(R-r)

  • dirección, perpendicular al plano determinado por ut y B,  eje X

  • sentido, positivo

En forma vectorial, FBC=iB(R-r)i

  • La porción CD, es un cuarto de circunferencia de radio R.

En el apartado anterior, calculamos la fuerza sobre un elemento de corriente de longitud dl=R· y las componentes de dicha fuerza

Calculamos ahora, las componentes de la fuerza resultante

En forma vectorial, FCD=-iBRi-iBRj

  • La porción DA es un segmento rectilíneo vertical de longitud R+r

La fuerza que ejerce el campo magnético sobre esta porción de corriente tiene

  • por módulo, FDA=iB(R+r)

  • dirección, perpendicular al plano determinado por ut y B,  eje Y

  • sentido, positivo

En forma vectorial, FDA=iB(R-r)j

La fuerza resultante es

F= FAB+ FBC+ FCD + FDA=iBri+iBrj +iB(R-r)i -iBRi-iBRj +iB(R-r)j=0

  1. En general, la fuerza que ejerce el campo magnético sobre una corriente cerrada es nula.

La integral entre paréntesis es nula, ya que la suma de todos los vectores desplazamiento diferenciales dl de un camino cerrado es nula, salimos de un punto y regresamos al mismo punto, no hay un desplazamiento neto.

Así pues, hemos demostrado que la resultante de las fuerzas que ejerce el campo magnético uniforme sobre un circuito cerrado de forma cualesquiera, es nula. El campo magnético es perpendicular al plano que contiene el circuito cerrado, aunque no tiene que serlo, necesariamente.

 

Referencias

Jones, R. The rail gun: A popular demostration of the Lorentz force. Am. J. Phys. 68 (8) August 2000.

Casaca A., Silva J. P., Magnetic forces acting on rigid current-carrying wires placed in a uniform magnetic field. The Physics Teacher, Vol 42, March 2004, pp. 161-163