Física Estadística y Termodinámica |
Física Estadística Teoría cinética de los gases Ecuación de la trans- formación adiabática. Función de distribución de Boltzmann (I) Función de distribución de Boltzmann (II) Niveles discretos de energía Experimento de Stern-Gerlach Vibración de las moléculas diatómicas Modelo simple de atmósfera Distribución de las velocidades de las moléculas
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 Verificación experimental de la función
de distribución de las velocidades molecularesEfusión de un gas. Concepto de flujo
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La función de distribución de las velocidades moleculares nos proporciona el número de moléculas que tienen una velocidad comprendida entre v y v+dv. En esta página, se simula un experimento que nos permite contar el número de moléculas en intervalos comprendidos entre v y v+Δv, y comprobar que el diagrama de barras obtenido se aproxima a la función de distribución de velocidades cuando el número de moléculas es grande. Cuando las moléculas de un gas se escapan del recipiente su presión disminuye con el tiempo. La medida de la presión del gas en función del tiempo nos permite determinar la velocidad media de las moléculas del gas.
Verificación experimental de la función de distribución de las velocidades moleculares
Las moléculas de un gas escapan a través de un orificio practicado en el recipiente de un horno que está a cierta temperatura T. Mediante colimadores se consigue que solamente continúen su movimiento aquellas que tienen una determinada dirección. A continuación, pasan a través de un selector de velocidades que constan de dos discos iguales y paralelos, separados una distancia d, cada uno con una muesca que giran con la misma velocidad angular constante ω. Las muescas están desplazadas un ángulo θ. Solamente, pasan a través del selector aquellas moléculas cuya velocidad sea
Es decir, aquellas que saliendo a través de la muesca del primer disco, empleen el mismo tiempo en recorrer la distancia d, t=d/v, que el segundo disco en girar un ángulo θ, t= θ/ω, para que su muesca se sitúe en la dirección del haz. En realidad, como las muescas tienen un ancho finito, las moléculas que llegan al detector tienen velocidades comprendidas en cierto intervalo Δv, alrededor de la velocidad v. Cambiando el ángulo entre las muescas θ, o la velocidad angular de rotación ω, seleccionamos otra velocidad v del haz de moléculas. Este es el procedimiento que se describe en varios libros de texto. Existen otros muchos métodos, entre los que cabe destacar el siguiente:
Las moléculas que escapan a través de un orificio practicado en la pared del horno calentado a temperatura T, pasan por un colimador. Una pequeña parte de estas moléculas que entran en el tambor a través de un orificio O. Las moléculas que tienen distintas velocidades, continúan su movimiento rectilíneo hasta que se encuentran con la pared interna del tambor que está revestida con una lámina de vidrio. Las moléculas más lentas, tardan más tiempo en depositarse en el revestimientote vidrio, el ángulo girado por el tambor será mucho mayor. La distribución espacial de las moléculas a lo largo del revestimiento está relacionada con sus velocidades como veremos a continuación.
Calculemos el punto P de impacto de una molécula que lleva una velocidad v en el revestimiento de vidrio, sabiendo que el radio del tambor es R, y su velocidad angular de rotación es ω. Como vemos en los tres dibujos, en el tiempo t que tarda la molécula en recorrer el diámetro 2R del tambor, t=2R/v, el orificio O del tambor ha girado un ángulo 2θ=ω·t. El punto P de impacto de la molécula en el revestimiento de vidrio, se encuentra a una distancia x del orificio, que es la longitud del arco de una circunferencia de radio R y ángulo π-2θ.
Las moléculas muy rápidas tenderán a concentrarse en la posición opuesta al orificio. x=Rπ. Mientras que las muy lentas llegarán al revestimiento, después de que el tambor haya dado varias vueltas. Las moléculas que tardan en recorrer el diámetro del tambor el mismo tiempo que éste tarda en dar una vuelta completa, se situarán en la posición x=-Rπ. Su velocidad será
Un dispositivo fijado al tambor elimina las moléculas cuya velocidad es inferior a vmín. De este modo, evitamos que en la misma posición del tambor se encuentren moléculas rápidas y lentas. En la posición opuesta x=Rπ se situarán aquellas moléculas cuya velocidad sea teóricamente infinita. Se han diseñado dos applets para mostrar el funcionamiento de este dispositivo que nos permite comprobar la ley de distribución de velocidades.
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza El applet está dividido en tres zonas:
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ActividadesSe introduce
Se pulsa en el botón titulado Gráfica. Se representa la función de distribución de velocidades de las moléculas del haz que sale a través de un orificio, perpendicularmente (eje Z) a la pared de un horno que contiene el vapor del metal seleccionado, y que se deducirá más adelante.
En la gráfica se han marcado tres valores.
Estos tres valores se proyectan en la lámina de vidrio que cubre la pared interna del tambor (en la parte inferior del applet), y que se señalan mediante líneas verticales de color azul. La relación de transformación, que hemos deducido anteriormente, es
Las moléculas con velocidad vmín=Rω/π se sitúan en la posición x=-Rπ, extremo izquierdo de la lámina. En el lado opuesto, se situarán las moléculas que lleven una velocidad teóricamente infinita v∞. Las otras dos velocidades se sitúan en las posiciones indicadas por las rayas verticales de color azul. En el centro de la lámina, un círculo de color negro, señala el orificio que se ha hecho en el tambor y que se toma como origen de las posiciones de las moléculas en la lámina. En la práctica real, las posiciones de las moléculas en la lámina de vidrio se transforman en velocidades mediante la relación de transformación inversa
La intensidad del color, o la medida de la transparencia de la lámina de vidrio, nos proporciona del número de moléculas en cada intervalo Δx alrededor de posición x. En la experiencia simulada, el número de moléculas que se depositan en la lámina en una posición x dada, determina la intensidad del color rojo, tal como podemos apreciar en la figura. La habilidad del “experimentador” estará en seleccionar la velocidad angular del tambor, de modo que la distribución de las velocidades de las moléculas del haz se pueda “medir” lo más cómodamente posible, para la sustancia elegida y temperatura del horno. Datos
Fuente: Alonso, Finn. Física. Fundamentos cuánticos y estadísticos, Edt. Fondo Educativo Interamericano (1971)
Ejemplo: Tenemos un horno calentado a 1000 K, con vapor de Wolframio. Seleccionamos la velocidad angular de rotación ω=220 rad/s. La velocidad que corresponde al máximo de la función de distribución es
La posición x de los átomos que llevan esta velocidad en la lámina de vidrio es
La posición marcada por una línea vertical de color azul a la derecha del origen. Aplicamos la relación inversa. La velocidad de los átomos que se han depositado en la posición x=-2 es La velocidad mínima x=-Rπ los átomos que se depositan en la lámina de vidrio es
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Efusión de un gas. Concepto de flujoEl número de moléculas cuya velocidad está comprendida entre v y v+dv, es decir, entre vx y vx+dvx, vy y vy+dvy, vz y vz+dvz, de acuerdo a la ley de Boltzman es
donde dv es un elemento de volumen en el espacio de las velocidades
El volumen comprendido es paralepípedo elemental de color gris de la figura tiene por lados dv Su volumen es dv=v2·senθ·dv·dθ·dφ Se define el flujo Φ, como el número de moléculas que chocan contra la pared por unidad de área y unidad de tiempo.
(dn/V)·A·v·cosθ·dt. El número de moléculas con velocidad v que chocan contra la pared por unidad de área y unidad de tiempo es (dn/V)·v·cosθ Para calcular la integral triple, establecemos los límites de integración para las variables v, φ y θ. Los límites de la primera integral respecto de φ, son 0 y 2π, se integra para todos los ángulos, pero solamente se integra para ángulos θ comprendidos entre 0 y π/2, ya que cuando θ>π/2, v·cosθ se hace negativa y la partícula se aleja de la pared. Por último, se integra para todas las velocidades, desde 0 a ∞. El flujo es
Para llegar a este resultado se han empleado las integrales
La velocidad media de las moléculas de un gas la hemos calculado en la página anterior
Medida de la velocidad media de las moléculasCuando el recorrido libre medio de las moléculas encerradas en un recipiente es grande comparado con el diámetro de un pequeño orificio hecho en la pared del recipiente, la teoría cinética de los gases predice que el número de moléculas que escapan por unidad de área y por unidad de tiempo de un recipiente cuyo volumen es V y que contiene N moléculas es
Si el agujero tiene un área A, el recipiente va perdiendo moléculas a razón de Φ·A en la unidad de tiempo. La ecuación que nos da la variación del número N de moléculas del recipiente con el tiempo t es
Empleando la ecuación de los gases ideales p·V=N·k·T
Integrando entre la presión inicial p0=1 atm en el instante t=0 y la presión final p en el instante t. Obtenemos la variación de la presión con el tiempo t.
Un ejemplo dramático de aplicación de esta fórmula, consiste en la despresurización de una nave espacial a consecuencia del choque de un pequeño meteorito que logre perforar sus paredes. Supongamos una nave espacial de 20 m3, que contiene oxígeno a la temperatura de 20º C y a la presión de 1 atm. El meteorito hace un pequeño agujero de 1 cm2 por el que se escapa el gas. Determinar la presión del gas al cabo de 1 hora. La velocidad media de las moléculas de oxígeno m=32 g a la temperatura de 293 K es
La presión p del oxígeno en la nave espacial al cabo de una hora t=3600 s, será
Como actividad, se va a realizar un experimento que nos permita calcular la velocidad media de las moléculas del gas a partir de la medida de la variación de la presión p del recipiente en función del tiempo t.
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza. Se observa, como disminuye la presión a medida que se escapan las moléculas del gas por el orificio practicado en el recipiente. En la parte derecha del applet, hay un manómetro de mercurio que nos señala la presión p en cada instante t. En la parte izquierda, se representa la presión (en atm) en el eje vertical, en función del tiempo (en minutos) en el eje horizontal. Cada minuto, se toma una medida de la presión, y se guarda los pares de datos (tiempo, presión) en el control área de texto situado en la parte izquierda del applet. Una vez que se hayan completado todas las medidas, se pulsa el botón titulado Gráfica. Se representa los resultados “experimentales” en “papel” semilogarítmico, y la recta que mejor ajusta. En el eje horizontal se representa el tiempo (en minutos), en el eje vertical el logaritmo decimal de la presión. A partir de esta gráfica calculamos la constante de tiempo
y conocida el área del orificio A y el volumen del recipiente V, determinamos la velocidad media <v> de las moléculas del gas elegido a la temperatura dada T. Datos
Ejemplo:
Cuando la presión p del recipiente disminuye hay una diferencia 2h en el nivel en las dos ramas del líquido manométrico. La diferencia de presión p0-p=ρg2h Ejemplo La diferencia de las alturas de las dos ramas del líquido manométrico es de 2·13.5 cm. Calcular la presión p en el recipiente p=1.013·105-13550·9.8·2·0.135=65447 Pa p=65447/1.013·105=0.64 atm Sea un recipiente de V=3.5 litros que contiene Neón a la temperatura de T=293 K. Se hace un orificio en el recipiente de área A=0.1 mm2. Determinar la velocidad media de las moléculas de neón a dicha temperatura. Los resultados “experimentales” se representan en “papel semilogarítmico”, tal como se muestra en la figura.
Observamos que para t=10 min le corresponde log10p=-1.47, con estos datos calculamos la constante de tiempo.
La velocidad media es <v>=789.8 m/s, para la temperatura de 293 K Calculamos la velocidad media mediante la fórmula
En la parte inferior del applet se proporciona la constante de tiempo, para que podamos comparar con los cálculos realizados
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Distribución de las velocidades de las moléculas del haz
Si se hace un pequeño orificio en la pared de un horno que contiene un gas a temperatura T. El número de moléculas con velocidad entre v y v+dv que escapan por unidad de área y por unidad de tiempo es
La velocidad media de las moléculas que escapan es
Para llegar a este resultado, se ha empleado la integral
La velocidad media de las moléculas que salen a través del orificio no coincide con la velocidad media de las moléculas contenidas en un recipiente.
Gas ideal bidimensionalComo apéndice de esta página, se comenta los pasos esenciales para crear la simulación del experimento que nos permite comprobar la fórmula de la distribución de las velocidades moleculares. Se emplea un modelo de gas bidimensional Volvemos sobre la distribución de las velocidades moleculares. El número de moléculas cuya velocidad está comprendida entre v y v+dv, o bien entre vx y vx+dvx, vy y vy+dvy de acuerdo a la ley de Boltzmann es
donde c es una constante a determinar sabiendo que el número total de moléculas es N.
Se efectúa una integral doble entre los límites -¥ y +¥ , teniendo en cuenta que la integral
El resultado es
El número de partículas cuyo módulo de la velocidad está comprendida entre v y v+dv es
donde T es la temperatura relacionada con la velocidad media <v> de las N moléculas del gas ideal bidimensional. La velocidad media <v> de las moléculas del gas bidimensional está relacionada con su temperatura T.
Para deducir estas expresiones, se han empleado el resultado de las integrales
Para generar la distribución de las velocidades de las moléculas de un gas ideal bidimensional, se emplean los métodos de Montecarlo. (Véase el Curso de Procedimientos Numéricos en Lenguaje Java) Se genera números aleatorios γ, uniformemente distribuidos en el intervalo [0, 1), para cada número γ se obtiene la velocidad de una molécula de acuerdo con la siguiente fórmula
La ventaja de utilizar este modelo, es que la integral es inmediata y se despeja fácilmente v.
Finalmente, se sitúa cada molécula en el tambor, en la posición dada por la relación de transformación
ReferenciasAlonso, Finn. Física. Fundamentos cuánticos y estadísticos, Edt. Fondo Educativo Interamericano (1971). Problemas 10.29 y 10.30, pág. 471. Para la experiencia simulada "Medida de la velocidad media de las moléculas" Benenson. R. Molecular velocity determination through gas effusion: Intermediate laboratory experiment. Am. J. Phys. 37 (1) January 1969, pp. 39-46. |
Efusión de un gas
