Fluidos |
Tensión superficial Gotas. Ley de Tate
Tensión superficial de una pompa de jabón (I) Tensión superficial de una pompa de jabón (II) Método de la burbuja Fenómenos capilares Forma de la cuerda
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Presión producida por la
curvatura de una superficie Deducción alternativa de la ecuación de Laplace para una gota |
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| Young y Laplace dedujeron de forma independiente en 1805 la fórmula de la diferencia de presión entre el interior y el exterior de una superficie esférica de radio R. La fórmula de Young-Laplace demuestra que la presión en el interior de de una superficie esférica es siempre mayor que en el exterior, que la diferencia de presión se incrementa cuando disminuye al radio de dicha superficie, y que se hace cero cuando la superficie es plana (radio infinito). Los líquidos tienden a minimizar su superficie. Por esta razón, las gotas tienen forma esférica en ausencia de gravedad. La tensión superficial tiende a reducir el área de la superficie y por tanto, el volumen de la gota. La diferencia de presión tiende a incrementar el volumen de la gota, la condición de equilibrio se alcanza cuando ambas tendencias se compensan.
Presión producida por la curvatura de una superficieVamos a mostrar que en el interior de una gota o una burbuja en equilibrio hay una presión superior a la exterior. Este exceso de presión es debido a la curvatura de la superficie límite de separación.
La diferencia de presión entre el interior de la burbuja y el exterior origina fuerzas sobre la superficie de la burbuja perpendiculares a la superficie esférica, tal como indican las flechas azules de la figura de abajo. Su proyección a lo largo del eje horizontal X, será el producto de la diferencia de presión (p-p0) por el área proyectada sobre un plano perpendicular al eje X (la proyección de una semiesfera de radio R, sobre un plano es un círculo de área p R2.
En el equilibrio F1=F2
la diferencia de presiones es tanto mayor cuanto menor es el radio R. Esta expresión es un caso particular de la denominada ley de Laplace. El factor cuatro aparece por que una pompa de jabón tiene dos caras: interior y exterior. En el caso de una gota de agua, solamente hay una cara por lo que la diferencia de presión se reduce a la mitad.
Deducción alternativa de la ecuación de Laplace para una gota
Sea p0 la presión exterior. Para formar la gota de radio r es necesario aplicar mediante el émbolo una presión p algo mayor que p0. El trabajo realizado por el émbolo sobre el líquido al desplazarse es p·dV . Pero la gota realiza un trabajo p0·dV sobre su entorno ya que desplaza el aire al incrementar su volumen dV. Ambos volúmenes son iguales debido a que el líquido es incomprensible. El trabajo total sobre el líquido será dW=(p-p0)·dV Este trabajo se emplea en incrementar la superficie de la gota, mientras se mantiene la temperatura y el volumen del líquido constantes. dW=g dA Igualando ambos trabajos y teniendo en cuenta las fórmulas del área y del volumen de una superficie esférica.
dV=4p r2dr, y dA=8p r·dr
Comunicando dos pompas de jabónSi ponemos dos pompas de jabón de radios R1 y R2 en los extremos de un tubo, y abrimos la llave que las comunica veremos que la pompa de jabón de radio menor es "comida" por la pompa de radio mayor.
La diferencia de presión entre las esferas de radio R1 y de radio R2 serán
Como consecuencia de la diferencia de presión, el aire circula por el tubo de comunicación con una velocidad dada por el teorema de Bernoulli
El volumen de aire que pasa de la segunda esfera a la primera en el tiempo dt es vSdt, siendo S=πr2 la sección del tubo que comunica ambas esferas. ρ=1.29 kg/m3 es la densidad del aire El volumen de la primera esfera aumenta, y el de la segunda disminuye. dV1=Svdt
Hay que resolver la integral por procedimientos numéricos
Conocido el radio inicial de la esfera izquierda, R01 se calcula el tiempo t cuando dicha esfera alcanza el radio R01≤R1<V1/3 La última ecuación, indica que la suma de los volúmenes de las dos esferas es constante. Podemos considerar en esta aproximación el aire como un fluido incomprensible, ya que los cambios de presión que experimenta en el interior de las burbujas son muy pequeños, comparados con la presión atmosférica. Nota: La descripción dada en este párrafo, se debe de entender desde el punto de vista cualitativo, explica el fenómeno observado de que dos globos o dos pompas de jabón conectadas por un pequeño tubo de volumen despreciable, la esfera de mayor radio aumenta a costa de la de menor radio, hasta que esta última desaparece. Un análisis termodinámico del problema es demasiado complicado para incluirlo en estas páginas, se puede consultar el segundo artículo citado en las referencias.
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza Observamos como la burbuja pequeña se hace cada vez más pequeña mientras crece la burbuja grande.
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Pellicer, J, García-Morales V., Hernández M. J., On the demostration of Young-Laplace equations in introductory courses. Phys. Educ 35 (2) March 2000, pp. 126-129.
Weinhaus F., Barker W. On the equilibrium states of interconnected bubbles o balloons. Am. J. Phys. 46 (10) October 1978, pp. 978-982
Presión producida por la
curvatura de una superficie
