Oscilaciones

Osciladores (I)

Oscilaciones libres

Oscilaciones
amortiguadas

Oscilaciones forzadas
el estado estacionario

Oscilaciones forzadas
el estado transitorio 

El péndulo de Pohl

Una partícula cae 
sobre muelle elástico

Caja sobre una cinta
transportadora

Oscilador amortiguado
por una fuerza cte (I).

Oscilador amortiguado
por una fuerza cte (II).

Trayectoria en el espacio de las fases

Energía del oscilador

Actividades

En esta página, estudiamos las oscilaciones libres tomando como modelo una partícula de masa m unida a un muelle elástico de constante k.

Ecuación del movimiento

Cuando una partícula se desplaza x de la posición de equilibrio, actúa sobre ella una fuerza que es proporcional al desplazamiento x, y de sentido contrario a éste, tal como se muestra en la figura.

La ecuación del movimiento se escribe

Teniendo en cuenta que la aceleración es la derivada segunda de la posición x, podemos expresar la ecuación del movimiento como ecuación diferencial de segundo orden.

w₀ se denomina frecuencia propia o natural del oscilador armónico.

La ventaja de expresar las oscilaciones en términos de una ecuación diferencial es que podemos establecer analogías entre sistemas físicos oscilantes completamente diferentes: mecánicos eléctricos, hidráulicos, etc.

La solución de esta ecuación diferencial es la ecuación de M.A.S.

Condiciones iniciales

La posición inicial x₀ y la velocidad inicial v₀ determinan la amplitud A y la fase inicial j. Para t=0,

x₀=A·senj
v₀=Aw₀·cosj

En este sistema de ecuaciones se despeja A y j a partir de los datos x₀  y v₀

Ejemplo:

Sea un MAS de frecuencia angular ω₀=100 rad/s. Sabiendo que la partícula parte de la posición x₀=5 con velocidad inicial nula, v₀=0, escribir la ecuación del MAS.

5=A·senj
0=100·A·cosj

La ecuación del MAS es

x=5·sen(100t+π/2)

Instantes en los que el móvil pasa por una determinada  posición

Calculamos los instantes t en los que el móvil pasa por la posición x, siendo |x|<A

Ejemplo:

Si la partícula describe el MAS

x=5·sen(100·t+π/2)

cuyo periodo es P=2π/100

Calculamos los instantes que pasa por la posición x=2

• El primer instante que pasa por la posición x=2 es t=0.0116 con velocidad v<0

• El segundo instante que pasa por la posición x=2 es t=0.0512 con velocidad v>0

• El tercer instante que pasa por la posición x=2 es t=0.0744=0.0116+2·π/100 con velocidad v<0

• El cuarto instante que pasa por la posición x=2 es t=0.1141=0.0512+2·π/100 con velocidad v>0

y así, sucesivamente.

Trayectoria en el espacio de las fases

El espacio de las fases nos muestra otra perspectiva del comportamiento de un oscilador, y se representa el momento lineal (o la velocidad) v en el eje vertical, y la posición del móvil x en el eje horizontal.

x=A·sen(ω₀t+φ)
v=A·ω_0·cos(ω₀t+φ)

Eliminando el tiempo t en estas dos ecuaciones, obtenemos la ecuación de la trayectoria, una elipse.

Energía del oscilador

La característica esencial de una oscilación libre es que la amplitud se mantiene constante y por tanto, la energía total se mantiene constante.

Actividades

Se introduce

• la posición inicial x₀, en el control de edición titulado Posición
• la velocidad inicial del móvil v₀, en el control de edición titulado Velocidad.
• la frecuencia angular se ha fijado en w₀ =100 rad/s.

Se pulsa en el botón Empieza.

• Se observa la posición del móvil en función del tiempo en la parte izquierda de la ventana, gráfico x-t. El valor de la posición x del móvil se muestra en la esquina superior izquierda.
• La trayectoria del móvil en el espacio de las fases, gráfico v-x, en la parte superior derecha.
• La energía total del móvil en función del tiempo, gráfico E-t, en la parte inferior derecha.