Oscilaciones |
Osciladores (I)
|
 Oscilaciones
amortiguadas |
|
|
El péndulo de Pohl es un sistema oscilante que consta de un anillo de cobre unido a un muelle helicoidal que puede girar alrededor de un eje horizontal. El disco se frena mediante las corrientes de Foucault que genera el campo magnético producido por una bobina en el anillo de cobre. Como se estudia en la página titulada “Corrientes de Foucault (I)” el momento de las fuerzas que ejerce el campo magnético sobre las corrientes inducidas es proporcional a la velocidad angular de rotación y de sentido contrario a ésta. La intensidad del campo magnético es proporcional a la corriente i que pasa por la bobina, la fuerza sobre dichas corrientes es también proporcional al campo magnético. El momento de frenado es proporcional, por tanto, al cuadrado de la intensidad de la corriente que pasa por la bobina. La fuerza oscilante se proporciona mediante un motor de velocidad variable, que dispone de una rueda impulsora y una excéntrica unida a una biela. La biela se atornilla a una varilla que puede girar alrededor del mismo eje y cuyo extremo está unido al muelle helicoidal. La varilla dispone de una ranura que permite ajustar la amplitud de la oscilación forzada. La varilla impulsora y el disco giran independientemente uno del otro, solamente están conectados por el muelle helicoidal.
En esta página, vamos a realizar dos experiencias simuladas con el péndulo giratorio de Pohl:
Oscilaciones amortiguadasSe desplaza el disco de la posición de equilibrio y se suelta La ecuación de la dinámica de rotación del anillo de cobre es Iα=-kθ- λω
Expresamos la ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial
ω0 es la frecuencia natural o propia del oscilador, y γ es la constante de amortiguamiento. El péndulo de Pohl de la marca Leybold-Heraeus que disponemos en el laboratorio de Física de la EUITI de Eibar tiene una frecuencia de aproximadamente f0=0.5 Hz, un periodo P0=1/f0=2 s, la frecuencia angular propia es ω0=2πf0=π rad/s en ausencia de rozamiento, es decir, cuando no se conecta la bobina a la fuente de alimentación de corriente continua. Oscilación es amortiguada. γ<ω0La solución de la ecuación diferencial es
ω es la frecuencia angular de la oscilación amortiguada, que difiere poco de la frecuencia propia ω0, si el amortiguamiento γ es pequeño. No se debe de confundir ω la frecuencia de la oscilación amortiguada, con la velocidad angular de rotación del disco. La velocidad angular de rotación dθ/dt es
Las condiciones iniciales determinan los valores de las constantes A y φ. En la experiencia simulada, se desplaza el disco de cobre 150º, θ0=5π/6 de la posición de equilibrio y se suelta, momento en el que empieza a contar el tiempo t=0. θ0=Asenφ Despejamos del sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas A y φ.
Las sucesivas posiciones de máximo desplazamiento angular, para las cuales la velocidad angular del disco es cero, se denominan posiciones de retorno y se calculan poniendo dθ/dt=0 tan(ωt+φ)=ω/γ
Si el móvil parte de la posición θ0 con velocidad angular nula, tanφ=ω/γ, los sucesivos tiempos son:
Medida de la constante de amortiguamiento En el instante tm=mπ/ω, el máximo desplazamiento del indicador del péndulo es
El cociente
Ejemplo. En el instante t=0, la posición de máximo desplazamiento es la posición inicial θ0=150º, en el instante t9=9.0 el desplazamiento máximo medido es -48.4º.
La constante de amortiguamiento γ vale
Comprobación
t9=9·π/ω=9.007 s
Oscilación es crítica. γ=ω0La solución de la ecuación diferencial es
La velocidad angular de rotación dθ/dt es
Las condiciones iniciales determinan los valores de las constantes A y B. En la experiencia simulada, se desplaza el disco de cobre 150º, θ0=5π/6 de la posición de equilibrio y se suelta, momento en el que empieza a contar el tiempo t=0. θ0=B Despejamos del sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas A y B.
El oscilador tiende a la posición de equilibrio θ=0, después de un tiempo t→∞, sin oscilar Oscilación es sobreamamortiguada. γ>ω0La solución de la ecuación diferencial es
La velocidad angular de rotación dθ/dt es
Las condiciones iniciales determinan los valores de las constantes A y B. En la experiencia simulada, se desplaza el disco de cobre 150º, θ0=5π/6 de la posición de equilibrio y se suelta, momento en el que empieza a contar el tiempo t=0. θ0=A+B Despejamos del sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas A y B.
El oscilador tiende a la posición de equilibrio θ=0, después de un tiempo t→∞, sin oscilar. ActividadesSe introduce,
Se pulsa el botón titulado Empieza Se observa las oscilaciones amortiguadas del péndulo de Pohl Se pulsa el botón titulado Gráfica Se representa 5 periodos de la oscilación amortiguada. Arrastramos con el puntero del ratón el punto de color azul situado en el eje horizontal y medimos dos posiciones de desplazamiento máximo, θn y θm alejadas una de la otra, y los correspondientes tiempos tn y tm. Calculamos la constante de amortiguamiento γ, mediante la fórmula
|
Pulsar el botón titulado Gráfica. Arrastrar con el puntero del ratón el punto de color azul situado en el eje horizontal
Oscilaciones forzadasEn la sección anterior, se ha descrito el oscilador amortiguado, la oscilación desaparece al cabo de un cierto tiempo, teóricamente infinito. En esta sección se describe el mecanismo que permite mantener la oscilación. Disponemos de un motor de velocidad angular variable ωf. El eje M del motor está situado a una distancia horizontal c y vertical a del eje O del anillo de cobre donde situamos el origen. Una excéntrica de radio r=|MB| está unida a una biela AB. El extremo A de la biela de longitud b está unida a una varilla excitadora AP que puede girar alrededor del eje O. La distancia R=OA se puede modificar mediante un tornillo que sujeta el extremo A de la biela a una ranura existente en la varilla. Modificando R se modifica la amplitud de la fuerza oscilante.
Como el motor gira con velocidad angular constante, en un determinado instante el ángulo que forma la excéntrica con la horizontal θ=ωf.·t. Dado el ángulo θ, calcularemos el ángulo f, que forma la varilla con la vertical. Sea α el ángulo que forma la biela con la horizontal, R·cosf-b·senα=a-r·senθ Eliminamos el ángulo α de este sistema de dos ecuaciones (Rcosf-a+rsenθ)2+(c+rcosθ-Rsenf)2=b2 y teniendo en cuenta que f es un ángulo pequeño, por lo que senf≈f y cosf≈0
En la figura, se muestra la gráfica del ángulo de la fuerza f en función de θ, para los siguientes datos r=1.0, b=22.0, a=10.0, c=22.0,
Ambas curvas difieren de un MAS, aunque pueden hacerse próximas a un MAS con una elección apropiada de los parámetros. Como vemos en la figura, cambiando R, la distancia entre el eje de rotación del anillo de cobre O y el extremo A de la biela cambia la amplitud de la fuerza oscilante. En la simulación supondremos que la fuerza oscilante produce un momento respecto del eje de rotación del anillo, descrito por la función armónica Mf=M0f·cos(ωf·t) siendo M0f· la amplitud y ωf la frecuencia angular. La ecuación del movimiento del disco se escribe ahora Iα=-kθ- λω+Mf
Expresamos la ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial
Como mostramos en la página titulada “El estado transitorio y su evolución hacia el estado estacionario”, la solución de la ecuación diferencial con las condiciones iniciales θ=0, y dθ/dt=0 en el instante t=0, el indicador del anillo parte del origen con velocidad angular inicial nula, es
ActividadesSe introduce,
Se puede elegir entre
Se pulsa el botón titulado Empieza Manteniendo fija la intensidad i de la corriente que pasa por la bobina (o la constante de amortiguamiento γ), y la amplitud M0f del momento de la fuerza oscilante, y con la casilla Gráfica activada, medimos la amplitud de la oscilación forzada en el estado estacionario para varios valores de la frecuencia de la fuerza oscilante ωf, completando tablas similares a la siguiente:
Se representa los datos de dos tablas en la misma gráfica, empleando distintos colores para cada gráfica.
|
||||||||||||||||||||||
El péndulo de Pohl
