Dinámica |
Trabajo y energía Trabajo y energía El péndulo simple El muelle elástico (I) El muelle elástico (II) El muelle elástico (III) Partícula unida a una goma Trabajo y energía (el bucle) El péndulo cónico Equilibrio y estabilidad (I) Equilibrio y estabilidad (II) Equilibrio y estabilidad (III) Equilibrio y estabilidad (IV) Movimiento sobre una cicloide (I) Movimiento sobre cúpula semiesférica Movimiento sobre sup. semicircular Carrera de dos esquiadores Movimiento sobre una cicloide (II)
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Ecuaciones del movimiento | |||||||||||||
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Ecuaciones del movimientoLas fuerzas que actúan sobre la partícula cuando se encuentra en la posición x, moviéndose hacia la derecha son:
Cuando la partícula en el instante t, se encuentra en la posición x, el vector velocidad v (cuya dirección es tangente a la trayectoria) forma un ángulo θ con el eje X.
Movimiento hacia la derecha
Descomponemos las fuerzas, y escribimos las ecuaciones del movimiento a lo largo del eje X y del eje Y
Relacionamos x e y y sus derivadas respecto del tiempo t
Eliminando N de las dos ecuaciones del movimiento, nos queda la ecuación diferencial
Resolvemos la ecuación diferencial por procedimientos numéricos, con la condición inicial de que la partícula está en reposo vx=dx/dt=0 en el instante t=0, cuando se encuentra en la posición x0. Posición de pausaLa partícula se mueve hacia la derecha, hasta que se para momentáneamente en la posición x1. Para calcular esta posición trasformamos la ecuación diferencial de segundo orden en una de primer orden.
Integramos la ecuación diferencial entre x0 ó θ0 donde la velocidad es 0 y x ó θ donde la velocidad de la partícula es vx.
En la posición θ=θ1 la velocidad es cero, esta posición se calcula poniendo vx=0 en la ecuación anterior y resolviendo la ecuación trascendente
Una vez calculado la raíz θ1, se calcula la posición x1 a partir de tanθ1= a·x1 Movimiento hacia la izquierda
La fuerza de rozamiento cambia de sentido, y las ecuaciones del movimiento son
Eliminando N de las dos ecuaciones del movimiento nos queda la ecuación diferencial
Es la misma ecuación que hemos obtenido anteriormente (1) cambiando μ→-μ La partícula sale de la posición x1 se mueve hacia la izquierda y se para en la posición x2, que se obtiene resolviendo la ecuación trascendente (3) en la que se ha efectuado el cambio μ→-μ
Una vez calculado la raíz θ2, se calcula la posición x2, tal que tanθ2= a·x2 Y así sucesivamente, hasta que el ángulo tan|θn|<μ
Trabajo de la fuerza de rozamiento
Calculamos la reacción N de la superficie
Buscamos en un libro de cálculo diferencial e integral, el capítulo de nociones básicas de geometría diferencial, y copiamos la fórmula que nos da el radio de curvatura de una función y=f(x) en un punto de abscisa x.
Para la parábola de ecuación
Sabiendo que la componente x de la velocidad de la partícula (2) vale
La reacción de la superficie N es
Calculamos el trabajo W
Balance energéticoPodemos calcular el trabajo W, como diferencia entre la energía final (cuando la partícula se encuentra en la posición x) y la energía inicial 8cuendo la partícula se encuentra en la posición x0)
Expresamos las variables y y v en función del ángulo θ de la tangente a la curva.
Sabiendo que la componente x de la velocidad de la partícula (2) vale
Después de realizar algunas operaciones llegamos a la misma expresión para el trabajo W.
Ejemplos
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Inicio
Se pulsa el botón titulado Empieza Se observa el movimiento de la partícula. Sobre el eje X aparecen señaladas las posiciones de pausa o paro momentáneo de la partícula. También se representa de forma gráfica el balance energético
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Arrastrar con el puntero del ratón la flecha de color rojo
Radio de curvatura
El radio ρ de curvatura medio e instantáneo se definen, respectivamente,
Si el ángulo comprendido entre las dos tangentes es dθ, este es el ángulo que forman las dos normales. La longitud del arco entre los dos puntos considerados es ds=ρ·dθ . Dada la función y=f(x), vamos a determinar la fórmula que nos permite calcular el radio de curvatura ρ de la curva en la posición de abscisa x.
La fórmula del radio de curvatura es
El radio de curvatura es una cantidad positiva Referencia Puig Adam P. Cálculo Integral Aplicado a la Física y Técnica. Biblioteca Matemática, 1972, pág. 286-287
ReferenciasLapidus I R. Motion of a harmonic oscillator with variable sliding friction. Am. J. Phys. 52 (11) November 1984, pp. 1015-1016 |
Movimiento sobre
una parábola
(1)
(2)
(3)
