Dinámica de fluidos

1.-Un depósito de agua está cerrado por encima con una placa deslizante de 12 m² y 1200 kg de peso. El nivel del agua en el depósito es de 3.5 m de altura.

Calcular la presión en el fondo.
Si se abre un orificio circular de 5 cm de radio a medio metro por encima del fondo, calcúlese el volumen de agua que sale por segundo por este orificio. (Se considera que el área del orificio es muy pequeño frente al área del depósito).

Tomar g=10 m/s². Presión atmosférica, p_a= 10⁵ Pa

Solución

Presión en el fondo

$p = 10^{5} + \frac{1200 \cdot 10}{12} + 1000 \cdot 10 \cdot 3.5 = 1.36 \cdot 10^{5} Pa$

Si se considera que el área del orificio es muy pequeño frente al área del depósito, v_A≈0

$\begin{array}{l} p_{A} + ρ g y_{A} + \frac{1}{2} ρ v_{A}^{2} = p_{B} + ρ g y_{B} + \frac{1}{2} ρ v_{B}^{2} \\ (10^{5} + \frac{1200 \cdot 10}{12}) + 1000 \cdot 10 \cdot 3 + 0 = 10^{5} + 0 + \frac{1}{2} 1000 v_{B}^{2} v_{B} = 7.87 m/s \end{array}$

Gasto=S_B·v_B=π·0.052·v_B=0.062 m³/s

2.-De un gran depósito de agua, cuyo nivel se mantiene constante fluye agua que circula por los conductos de la figura hasta salir por la abertura C, que está abierta al aire. La diferencia de presión entre los puntos A y B es p_B-p_A=500 Pa.

Sabiendo que las secciones de los diferentes tramos de la conducción son S_A=S_C=10 cm² y S_B=20 cm², calcular las velocidades y las presiones del agua en los puntos A y B de la conducción.

La presión en C es la atmosférica, igual a 10⁵ Pa.

Solución

A y B están en el mismo nivel y_A=y_B

$\begin{array}{l} S_{A} v_{A} = S_{B} v_{B} \\ 10 \cdot v_{A} = 20 \cdot v_{B} v_{A} = 2 \cdot v_{B} \\ p_{A} + ρ g y_{A} + \frac{1}{2} ρ v_{A}^{2} = p_{B} + ρ g y_{B} + \frac{1}{2} ρ v_{B}^{2} \\ p_{A} + \frac{1}{2} 1000 \cdot 4 v_{B}^{2} = p_{A} + 500 + \frac{1}{2} 1000 v_{B}^{2} v_{B} = \frac{\sqrt{3}}{3} m/s v_{A} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} m/s \end{array}$

Como S_A=S_C e y_A=y_C, p_A=p_C=10⁵ Pa

p_B=105+500=605 Pa

3.-Para saber la velocidad del agua en una tubería empalmamos en ella un tubo en forma de T de menor sección, colocamos tubos manométricos A y B, como indica la figura y medimos la diferencia de altura h (5 cm) entre los niveles superiores del líquido en tales tubos.

Sabiendo que la sección del tubo estrecho es 10 veces menor que la tubería, calcular la velocidad del líquido en ésta.
Calcúlese el gasto, si el área de la sección mayor es 40 cm²

Solución

Los puntos 1 y 2 están al mismo nivel y₁=y₂

$\begin{array}{l} S_{1} v_{1} = S_{2} v_{2} \\ 10 \cdot S_{2} \cdot v_{1} = S_{2} \cdot v_{2} v_{2} = 10 \cdot v_{1} \\ p_{1} + ρ g y_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} = p_{2} + ρ g y_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} \\ (p_{a} + 1000 \cdot 9.8 \cdot h_{1}) + \frac{1}{2} 1000 \cdot v_{1}^{2} = (p_{a} + 1000 \cdot 9.8 \cdot h_{2}) + \frac{1}{2} 1000 \cdot 100 v_{1}^{2} \end{array}$

Sabiendo que h₂-h₁=0.05, despejamos v₁

Gasto=S₁·v₁=S₂·v₂=40·10^-4·v₁=0.4 litros/s

4.-Del depósito A de la figura sale agua continuamente pasando través de depósito cilíndrico B por el orificio C. El nivel de agua en A se supone constante, a una altura de 12 m sobre el suelo. La altura del orificio C es de 1.2 m. El radio del depósito cilíndrico B es 10 cm y la del orificio C, 4 cm. Calcular:

La velocidad del agua que sale por el orificio C.
La presión del agua en el punto B depósito pequeño
La altura h del agua en el manómetro abierto vertical.

Dato: la presión atmosférica es p_a=101293 Pa.

Solución

Como el depósito es muy grande v_A≈0

$\begin{array}{l} p_{A} + ρ g y_{A} + \frac{1}{2} ρ v_{A}^{2} = p_{C} + ρ g y_{C} + \frac{1}{2} ρ v_{C}^{2} \\ p_{a} + 1000 \cdot 9.8 \cdot 12 + 0 = p_{a} + 1000 \cdot 9.8 \cdot 1.2 + \frac{1}{2} 1000 v_{C}^{2} v_{C} = 14.55 m/s \end{array}$

Se comparan los puntos B y C

$\begin{array}{l} S_{C} v_{C} = S_{B} v_{B} \\ π \cdot {0.04}^{2} \cdot v_{C} = π \cdot {0.1}^{2} \cdot v_{B} v = 2.33 m/s \\ p_{C} + ρ g y_{C} + \frac{1}{2} ρ v_{C}^{2} = p_{B} + ρ g y_{B} + \frac{1}{2} ρ v_{B}^{2} \\ p_{a} + 1000 \cdot 9.8 \cdot 1.2 + \frac{1}{2} 1000 \cdot v_{C}^{2} = p_{B} + 1000 \cdot 9.8 \cdot 1.2 + \frac{1}{2} 1000 v_{B}^{2} p_{B} = 204423 Pa \end{array}$

p_B=p_a+1000·9.8·(h+0.1), h=10.4 m

5.-El gasto en una tubería por la que circula agua es 208 l/s. En la tubería hay instalado un medidor de Venturi con mercurio como líquido manométrico. Si las secciones de las tuberías son 800 y 400 cm²

Calcular el desnivel h que se produce en el mercurio.

Dato: densidad del mercurio 13.6 g/cm³

Solución

$\begin{array}{l} S_{1} v_{1} = S_{2} v_{2} \\ 208 \cdot 10^{- 3} = 800 \cdot 10^{- 4} \cdot v_{1} = 400 \cdot 10^{- 4} \cdot v_{2} v_{1} = 2.6 m/s v_{2} = 5.2 m/s \\ p_{1} + ρ g y_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} = p_{2} + ρ g y_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} \\ p_{1} + \frac{1}{2} 1000 \cdot v_{1}^{2} = p_{2} + \frac{1}{2} 1000 \cdot v_{2}^{2} \\ Δ p = p_{1} - p_{2} = 10140 Pa \end{array}$

Diferencia de presión en el manómetro

$\begin{array}{l} p_{1} + ρ g x = p_{2} + ρ g (x - h) + ρ_{H g} g h \\ Δ P = p_{1} - p_{2} = (ρ_{H g} - ρ) g h = (13600 - 1000) \cdot 9.8 \cdot h h = 8.2 cm \end{array}$

6.-Dos depósitos abiertos muy grandes A y F, véase la figura, contienen el mismo líquido. Un tubo horizontal BCD que tiene un estrechamiento en C, descarga agua del fondo del depósito A, y un tubo vertical E se abre en C en el estrechamiento y se introduce en el líquido del depósito F. Si la sección transversal en C es la mitad que en D, y si D se encuentra a una distancia h₁ por debajo del nivel del líquido en A.

¿A qué altura h₂ alcanzará el líquido en el tubo E?. Expresar la respuesta en función de h₁.

Solución

Comparamos los puntos A y D del fluido. Como el depósito es muy grande v_A≈0

$\begin{array}{l} p_{A} + ρ g y_{A} + \frac{1}{2} ρ v_{A}^{2} = p_{D} + ρ g y_{D} + \frac{1}{2} ρ v_{D}^{2} \\ p_{a} + ρ g \cdot h_{1} + 0 = p_{a} + 0 + \frac{1}{2} ρ v_{D}^{2} v_{D} = \sqrt{2 g h_{1}} \end{array}$

Comparamos los puntos C y D del fluido. Los puntos C y D están en el mismo nivel y_C=y_D

$\begin{array}{l} A_{C} v_{C} = A_{D} v_{D} v_{C} = 2 v_{D} \\ p_{C} + ρ g y_{C} + \frac{1}{2} ρ v_{C}^{2} = p_{D} + ρ g y_{D} + \frac{1}{2} ρ v_{D}^{2} \\ p_{C} + \frac{1}{2} ρ v_{C}^{2} = p_{a} + \frac{1}{2} ρ v_{D}^{2} p_{C} = p_{a} - 3 ρ g h_{1} \end{array}$

Comparamos los puntos E y C

La presión en E es la atmosférica p_a

p_a=p_C+ρgh₂
h₂=3h₁

7.-Un recipiente cilíndrico transparente de radio R, tiene un orificio de pequeño radio r inicialmente cerrado en la parte inferior, se llena de agua de densidad ρ=1000 kg/m³. Se da la vuelta al tubo y se introduce en un depósito lleno de agua.

En el instante t=0, se quita el tapón que cierra el orificio y el aire entra en el recipiente debido a la diferencia de presión entre el interior del recipiente p y la presión atmosférica, P_a=101 300 Pa en el exterior. Como consecuencia, el nivel h de agua en el tubo disminuye con el tiempo

Supondremos que el aire es un fluido incompresible de densidad ρ_a=1.142 kg/m³.

Solutions of Indian National Physics Olympiad – 2018. 28 January 2018

Solución

De la ecuación fundamental de la estática de fluidos

$p_{a} = p + ρ g h$

Aplicando la ecuación de Bernoulli, determinamos la velocidad del aire en el orificio

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} ρ_{a} v^{2} + p = p_{a} \\ \frac{1}{2} ρ_{a} v^{2} = ρ g h \\ v = \sqrt{\frac{2 ρ g}{ρ_{a}} h} \end{array}$

En la unidad de tiempo entra un volumen de aire v(πr²). Como el aire se supone incompresible, la altura del agua en el recipiente disminuye (πR²)dh/dt

$\begin{array}{l} (π R^{2}) \frac{d h}{d t} = - (π r^{2}) v \\ \frac{d h}{d t} = - \frac{r^{2}}{R^{2}} \sqrt{\frac{2 ρ g}{ρ_{a}} h} \end{array}$

Separamos las variables h y t e integramos

$\begin{array}{l} \int_{h_{0}}^{h} \frac{d h}{\sqrt{h}} = - \frac{r^{2}}{R^{2}} \sqrt{\frac{2 ρ g}{ρ_{a}}} \int_{0}^{t} d t \\ 2 (\sqrt{h} - \sqrt{h_{0}}) = - \frac{r^{2}}{R^{2}} \sqrt{\frac{2 ρ g}{ρ_{a}}} t \\ \sqrt{h} = \sqrt{h_{0}} - \frac{r^{2}}{R^{2}} \sqrt{\frac{ρ g}{2 ρ_{a}}} t \end{array}$

Representando $\sqrt{h}$ en función del tiempo t, obtenemos uan recta, cuya ordenda en el origen es $\sqrt{h_{0}}$ y la pendiente

$- \frac{r^{2}}{R^{2}} \sqrt{\frac{ρ g}{2 ρ_{a}}}$

En una experiencia de laboratorio, medimos la altura h en función del tiempo t. Representamos los datos experimentales y la recta que mejor ajusta a dichos datos

t(s)	h(cm)
0.57	21.54
1.20	20.10
1.81	18.67
2.47	17.23
3.07	15.80
3.86	14.36
4.55	12.92
5.34	11.49

t=[0.57, 1.20,1.81,2.47,3.07,3.86,4.55,5.34];
h=[21.54,20.10,18.67,17.23,15.80,14.36,12.92,11.49];
plot(t,sqrt(h/100),'ro','markersize',3,'markerfacecolor','r')
grid on
xlabel('t(s)')
ylabel('sqrt(h)')
title('Experiencia')

En el menú Tools elegimos Basic Fitting. En TPYPES OF FIT activamos la casilla Linear

A partir del la ordenada en el origen, calculamos la altura inicial h₀=0.4795²=0.2299 m=22.99 cm

A partir de la pendiente de la recta, -0.02632 calculamos el cociente r/R=0.02. Si el radio del recipiente es R=3.3 cm, el radio del orificio es r=0.066 cm