Aplicaciones de la ecuación fundamental de la estática de fluidos

La prensa hidráulica

Émbolos a la misma altura

Se aplica una fuerza F1 a un pequeño émbolo de área S1. El resultado es una fuerza F2 mucho más grande en el émbolo de área S2. Debido a que la presión es la misma a la misma altura por ambos lados, se verifica que

p= F 1 S 1 = F 2 S 2

Para mantener a la misma altura los dos émbolos, tenemos que poner un número de pesas sobre cada émbolo de modo que se cumpla la relación dada en el apartado anterior.

n 1 mg π r 1 2 = n 2 mg π r 2 2 n 1 r 1 2 = n 2 r 2 2

Donde n1 y n2 es el número de pesas que se ponen en el émbolo izquierdo o derecho respectivamente, r1 y r2 son sus radios respectivos, m es la masa de cada pesa.

Ejemplo:

Si r2 es el doble de r1, el área S2 del émbolo de la derecha es cuatro veces mayor que el área S1 del émbolo de la izquierda. Para que los émbolos estén a la misma altura, a la derecha tenemos que poner cuatro veces más de pesas que a la izquierda.

r2=2r1 entonces S2=4S1, luego, n2=4n1

Émbolos a distinta altura

Vamos a determinar la altura de ambas columnas de fluido cuando se ponen n1 pesas en el émbolo de la izquierda y n2 pesas en el émbolo de la derecha.

Sean A y B dos puntos del fluido que están a la misma altura. El punto A una profundidad h1 por debajo del émbolo de área S1 y el B situado h2 por debajo del émbolo de área S2.

La presión en cada uno de dichos puntos es la suma de tres términos

p A = p 0 +ρg h 1 + n 1 mg π r 1 2 p B = p 0 +ρg h 2 + n 2 mg π r 2 2

Para determinar h1 y h2 en función de los datos n1 y n2, precisamos de dos ecuaciones

La primera ecuación es pA=pB

La segunda ecuación, nos indica que el fluido incomprensible pasa de un recipiente al otro, pero el volumen V de fluido permanece invariable. Por ejemplo, si h1 disminuye, h2 aumenta. Como consecuencia, el fluido pasa del recipiente izquierdo al derecho, hasta que se establece de nuevo el equilibrio.

π r 1 2 h 1 +π r 2 2 h 2 =( π r 1 2 +π r 2 2 ) h 0

Donde h0 es la altura inicial de equilibrio.

Ejemplo 1:

Ponemos tres pesas en el émbolo de la izquierda, y ninguna pesa en el émbolo de la derecha, n1=3, n2=0. El émbolo izquierdo baja y sube el émbolo derecho.

Para hallar las alturas de equilibrio h1 y h2 tenemos que plantear el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

La solución es h1=0.124 m=12.4 cm y h2=0.219 m=21.9 cm

Ejemplo 2:

Ponemos una pesa en el émbolo de la izquierda y 10 pesas en el émbolo de la derecha,n1=1, n2=10. El émbolo izquierdo baja y sube el émbolo derecho.

El sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

La solución es h1=-0.359 m=-35.9 cm y h2=0.216 m=21.6 cm. Esta solución no es posible, por lo que el programa invita a modificar el número de pesas sobre ambos émbolos

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

El programa calcula las alturas h1 y h2. Si alguna de ellas es menor que cero, el programa invita a modificar el número de pesas sobre ambos émbolos


Medida de la densidad relativa de un líquido

En esta experiencia aplicamos la ecuación fundamental de la estática de fluidos

Se comparan dos líquidos inmiscibles, el agua, cuya densidad es conocida (1.0 g/cm3).y un líquido de densidad desconocida.

Dado que A y B están a la misma altura sus presiones deben ser iguales:

pA=p02gh2

pB=p01gh1

Igualando las presiones en A y B, pA=pB, obtenemos

ρ 1 ρ 2 = h 2 h 1

Las densidades de los dos líquidos no miscibles están en relación inversa a las alturas de sus columnas sobre la superficie de separación en el tubo en forma de U.

Actividades

  1. Cuando se pulsa el botón titulado Nuevo, el programa interactivo genera un número aleatorio comprendido entre 0.5 y 4.5 que representa la densidad del líquido desconocido (en color amarillo).
  2. Se vierte el líquido desconocido poco a poco por el extremo derecho que tiene forma de embudo, pulsando en el botón .
  3. Paramos la ejecución del programa en cualquier momento, para realizar medidas pulsando en el botón pausa ||.
  4. Nos acercarnos a una medida en la escala graduada pulsando varias veces en el botón paso a paso >|.
  5. El programa se detiene cuando alguno de los indicadores de nivel se sale fuera de la escala graduada en cm.

Ejemplo

El líquido desconocido se representa en color amarillo y el agua en azul claro.

Despejamos la densidad ρ2 del líquido desconocido

ρ 2 = 1.021.5 5.5 =3.91 g/cm 3

Presión del aire atrapado en un tubo que se sumerje en un fluido

Consideremos un tubo de longitud L y sección S abierto por la parte inferior y cerrado por la parte superior. Lo introducimos en un fluido de densidad ρ conocida. A medida que sumergimos el tubo, aire atrapado en su interior (en color amarillo) se comprime. Vamos a medir la presión de aire en el tubo

Sea p0=101 300 N/m2 la presión atmósférica. Sea h la posición del extremo inferior del tubo e y la posición de la superficie de separación entre el fluido y el aire atrapado en el tubo. Ambas longitudes se miden desde la superficie libre del fluido tal como se muestra en la figura

Supondremos que el aire experimenta una transformación isotérmica a la temperatura T del fluido contenido en el recipiente

Inicialmente n moles de aire ocupan un volumen SL a la temperatura T y a la presión atmosférica p0. Suponiendo que el aire es un gas ideal,

p0·SL=nRT

Cuando se introduce el tubo en el fluido, la presión en la superficie de separación entre el aire y el fluido es algo mayor, p=p0+ρgy, por lo que el volumen S(L-(h-y)) se reduce si la temperatura se mantiene constante

p·S(L-(h-y))=nRT

Calculamos y a partir de las ecuaciones

p= p 0 L Lh+y p= p 0 +ρgy

Obtenemos la ecuación de segundo grado

ρg p 0 y 2 +( 1 ρg p 0 (hL) )y+h=0

cuya raíz positiva es y.

El manómetro mide la diferencia de presión p-p0=ρgy

Hemos calculado la diferencia de presión p-p0 en términos de la densidad ρ del fluido, la presión atmosférica p0, la longitud L del tubo y de las posiciones h del extremo del tubo e y de la superficie de separación que mediríamos con precisión mediante un catetómetro

Por otra parte, medimos la presión del gas p-p0=ρ1gH con un manómetro de mercurio, siendo H la diferencia de los niveles en ambas ramas del manómetro y ρ1=13 550 kg/m3 la densidad del mercurio

Ejemplo

Con estos datos calculamos la posición y de la superficie de separación entre el aire y el fluido

>> rho=1000;
>> p0=101300;
>> h=0.6;
>> L=0.4;
>> a=rho*9.8/p0;
>> b=1-rho*9.8*(h-L)/p0;
>> c=-h;
>> y=(-b+sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a)
y =    0.5788

La diferencia de presión es p-p0=ρgy=1000·9.8·0.579=5 672 Pa, lo que equivale a que la diferencia de alturas del manómetro sea 5 672/(9.8·13550)=0.0427 m=4.3 cm, que es lo que observamos en la simulación

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

El programa calcula la posición y de la superficie de separación entre el aire y el fluido. Mide la diferencia de presión p-p0=ρgy mediante un manómetro de mercurio en la parte izquierda