1.- Un bloque de hielo (iceberg) de densidad ρh =917 kg/m3 flota en el agua de mar ρa =1026 kg/m3 . Si el volumen del bloque es V , ¿qué parte permanecerá sumergida?
Solución
Las fuerzas que actúan sobre el bloque del hielo son
El peso, mg =ρh V·g
El empuje, E =ρa Vs ·g . Vs es el volumen de la parte sumergida del bloque
En el equilibrio, mg=E
ρ
a
V
s
=
ρ
h
V
V
s
=
ρ
h
ρ
a
V =
917
1026
V = 0.894 · V
Casi el 90% del bloque permenecerá sumergido
2.-
Sea un bloque de madera sección A y altura h de densidad ρ 1 desconocida, que está flotando en el agua, la altura sumergida es y 1
Se coloca un volumen V de material de densidad desconocida ρ 2 encima del bloque, flotan en el agua, la altura del bloque sumergida es y 2
Se engancha el material por debajo del bloque, flotan en el agua, la altura del bloque sumergida es y 3
Determinar la densidad del material ρ 2 en función de las alturas y 1 , y 2 , y 3 y de la densidad del agua ρa
Indian National Physics Olympiad. Homi Bhabha Centre for Science Eduaction. Solved papers NSEP & INPhO, 2016-2018, Ejemplo 3, enunciado, 191, solución, 200
Solución
Equilibrio de un cuerpo parcialmente sumergido, peso=empuje
{
ρ
1
A h g =
ρ
a
A
y
1
g
ρ
1
A h g +
ρ
2
V g =
ρ
a
A
y
2
g
ρ
1
A h g +
ρ
2
V g =
ρ
a
A
y
3
g +
ρ
a
V g
Combinamos la segunda y tercera ecuación, eliminando el peso de los dos cuerpos
ρ
a
A
y
2
=
ρ
a
A
y
3
+
ρ
a
V
V = A (
y
2
−
y
3
)
Combinamos la primera y segunda ecuación, eliminando el peso del bloque
ρ
a
A
y
1
+
ρ
2
V =
ρ
a
A
y
2
ρ
2
=
ρ
a
(
y
2
−
y
1
) A
V
Sustituimos el volumen V del bloque y eliminamos el área A
ρ
2
=
ρ
a
y
2
−
y
1
y
2
−
y
3
3.- Consideremos el movimiento de un objeto de volumen V y masa m que cae a través de un fluido con viscosidad cero (sin rozamiento).
Dibuja las fuerzas que actúan sobre el cuerpo.
Calcula su aceleración a de caída.
Solución
ma =peso-empuje
ρs Va=ρs Vg-ρf Vg
a = g (
1 −
ρ
f
ρ
s
)
La aceleración a no depende ni de la masa m del cuerpo ni de su volumen V , solamente de las densidades del cuerpo ρs y del fluido ρf .
4.- Disponemos de una plancha de corcho de 10 cm de espesor. Calcular la superficie mínima S que se debe emplear para que flote en agua, sosteniendo a un naufrago de 70 kg. La densidad del corcho es de 0.24 g/cm2 .
Nota: entendemos por superficie mínima la que permite mantener al hombre completamente fuera del agua aunque la tabla esté totalmente inmersa en ella.
Solución
Peso del naufrago + peso del corcho = empuje
El volumen de la plancha de corcho sumergida en agua es (S ·0.1).
(70+240·0.1·S )g=1000(0.1·S )g
S =0.92 m2
5.- Un cable anclado en el fondo de un lago sostiene una esfera hueca de plástico bajo su superficie. El volumen de la esfera es de 0.3 m3 y la tensión del cable 900 N.
¿Qué masa tiene la esfera?
El cable se rompe y la esfera sube a la superficie. Cuando está en equilibrio, ¿qué fracción del volumen de la esfera estará sumergida?
Densidad del agua de mar 1.03 g/cm3
Solución
E=mg+T
1030·0.3·9.8=m ·9.8+900, m =217.2 kg
E'=mg
1030·V ·9.8=m ·9.8, V =0.21 m3
Fracción de la esfera sumergida, 0.21/0.3=0.7=70%
6.- Un cuerpo cilndrico hecho de corcho de densidad 0.30 g/cm3 , tiene 6 cm de alto, el área de su bases es 12 cm2 y flota en el agua (densidad 1 g/cm3 ). Del cuerpo cuelga una bola esférica de hierro cuya densidad es 7.86 g/cm3 y de radio r desconocido, tal como se muestra en la figura.
Sabiendo que la altura del cilindro por encima del agua es de 2 cm, calcular el radio de la bola
Masatsugu Suzuki. Lecture Notes of General Physics I and II Calculus Based
Solución
Equilibrio del cuerpo cilíndrico. Las fuerzas que actúan son
El peso Mg =(0.3·12·6)9.8/1000, N
El empuje, Ec =(1·12·4)9.8/1000, N
La tensión T de la cuerda
Ec =Mg +T
Equilibrio de la bola de hierro. Las fuerzas que actúan son
El peso mg =(7.86·4πr 3 /3)9.8/1000, N
El empuje, Es =(1·4πr 3 /3)9.8/1000, N
La tensión T de la cuerda
T +Es =mg
Eliminando T en el sistema de dos ecuaciones
Es + Ec =mg +Mg
1 · 12 · 4 + 1 ·
4
3
π
r
3
= 0.3 · 12 · 6 + 7.86 ·
4
3
π
r
3
El resultado es, r =0.97 cm
7.- Una varilla cilíndrica delgada de longitud L , radio r , de densidad ρ , está sujeta por una cuerda al fondo de un recipiente que contiene líquido de densidad ρf .
El extremo de la varilla se encuentra a una profundidad h . Calcular el ángulo de inclinación θ de la varilla y la tensión T de la cuerda
Hans C. Mayer. Theoretical and Experimental Analysis of Tethered Buoys . The Physics Teacher, Vol. 62, October 2024, pp. 556-561
Solución
Las fuerzas sobre la varilla son
El peso,
m g = ρ (
π
r
2
L
) g
El empuje,
E =
ρ
f
(
π
r
2
h
sin θ
) g
La tensión de la cuerda, T
Equilibrio
de las fuerzas
T+mg=E
Momentos respecto del extremo inferior de la varilla
E
h
2 sin θ
cos θ = m g
L
2
cos θ
ρ
f
(
π
r
2
h
sin θ
) g
h
2 sin θ
= ρ (
π
r
2
L
) g
L
2
sin θ =
ρ
f
ρ
h
L
Para h>L , la varilla es estable en la posición vertical θ =90° independientemente de la profundidad h .
Fijamos las densidades, de modo que el cociente ρ/ρf =0.5. Representamos el ángulo θ en grados en función de la profundidad h , para tres valores de la longitud de la varilla, L=0.1, 0.2 y 0.3 m
k=0.5; %cociente rho/rho_f (varilla/liquido)
hold on
for L=0.1:0.1:0.3 %longitud de la varilla
th=@(x) asin(x/(L*sqrt(k)))*180/pi; %en grados
fplot(th,[0,L*sqrt(k)])
line([L*sqrt(k), 0.25],[90,90])
end
hold off
grid on
xlabel('h')
ylabel('\theta')
title('Angulo en función de la profundidad, h')
Fijamos la longitud de la varilla L =0.2 m. Representamos el ángulo θ en grados en función de la profundidad h , para cinco valores del cociente ρ/ρf =0.01, 0.25, 0.5, 0.75, 0.99
L=0.2; %longitud de la varilla
hold on
for k=[0.01,0.25,0.5,0.75,0.99] %cociente rho/rho_f (varilla/liquido)
th=@(x) asin(x/(L*sqrt(k)))*180/pi; %en grados
fplot(th,[0,L*sqrt(k)])
line([L*sqrt(k), 0.25],[90,90])
end
hold off
grid on
xlabel('h')
ylabel('\theta')
title('Angulo en función de la profundidad, h')
La tensión de la cuerda
T = E − m g = (
π
r
2
) g (
ρ
f
h
sin θ
− ρ L
) = ρ (
π
r
2
L
) g (
ρ
f
ρ
− 1
) = m g (
ρ
f
ρ
− 1
)
No depende de la profundidad h
8.- La prensa hidráulica de la figura está formada por dos depósitos cilíndricos, de diámetros 10 y 40 cm respectivamente, conectados por la parte inferior mediante un tubo, tal como se indica en la figura. Contienen dos líquidos inmiscibles: agua, de densidad 1 g/cm3 y aceite 0.68 g/cm3 .
Determinar el valor de la masa m para que el sistema esté en equilibrio.
Tomar g =9.8 m/s2 . Presión atmosférica, pa = 101293 Pa
Solución
La presión en el fondo de los dos cilindros es la misma.
p
a
+
5 · 9.8
π ·
0.2
2
+ 1000 · 9.8 · 0.08 + 680 · 9.8 · 0.3 =
p
a
+
m · 9.8
π ·
0.05
2
+ 1000 · 9.8 · 0.2
m =0.97 kg
9.- El depósito de la figura contiene agua.
Si abrimos la llave de paso, ¿qué altura tendrá el agua en cada lado del depósito cuando se alcance el equilibrio?
¿Qué cantidad de agua pasará de un recipiente al otro hasta que se alcance el equilibrio?
Tomar g =10 m/s2 . Presión atmosférica, pa = 105 Pa
Solución
Cuando se abre la llave pasa agua de un recipiente al otro hasta que las presiones se equilibran. En la situación final la presión en el fondo de los recipientes son iguales.
0+1000·10·h 1 =105 +1000·10·h 2
El volumen de agua no cambia de la situación inicial a la final.
h 1 A 1 =h 2 A 2
Despejamos las incógnitas del sistema de dos ecuaciones: h 1 =55/3 m, h 2 =25/3 m
El volumen de agua que pasa de un recipiente a otro.
10 ·
55
3
− 10 · 15 =
100
3
m
3
10.- Un tubo de vidrio de longitud h se introduce en una depósito de mercurio hasta la mitad.
Se cierra el extremo superior y el tubo se saca muy despacio del depósito. Calcular la altura y del mercurio que permanece en el tubo.
P=ρgH es la presión atmosférica (H =76 cm). Se supone que la temperatura no cambia
PhysicsChallenges for Teachers and Students. Mercury on Earth (F4) . The Physics Teacher. Vol. 43, (2005) pp. 122
Solución
Cuando se saca el tubo, la presión del aire en el interior del tubo disminuye a P-ΔP , como consecuencia el aire se expande desde el volumen A·h /2 a A (h-y ). Siendo A la sección del tubo
La transformación isotérmica del aire contenido en el tubo se escribe,
P (
A
h
2
) = (
P − Δ P
) A (
h − y
)
P
h
2
= (
P − Δ P
) (
h − y
)
La presión atmosférica es la suma de la presión del aire contenido en el tubo y de la columna de mercurio de altura y
P =(P-ΔP )+ρgy , ΔP=ρgy
El resultado es
ρ g H
h
2
= (
ρ g H − ρ g y
) ( h − y )
y
2
− (
H + h
) y + H
h
2
= 0
y =
H + h −
(
H + h
)
2
− 2 H h
2
=
H + h −
H
2
+
h
2
2
Como y<h /2 solamente es posible una de las dos soluciones de la ecuación de segundo grado
11.- Una placa rectangular de densidad ρ y dimensiones 2a y 2b flota en un líquido de densidad ρf .
Se sujeta mediante una cuerda atada a un vértice, de modo que la diagonal del rectángulo es horizontal y está a la misma altura que la superficie libre del fluido, tal como se muestra en la figura
Determinar la densidad relativa de la placa ρ/ρf
S. N. Maitra. Problems in mechanics
Solución
Las fuerzas sobre la placa son
La tensión T de la cuerda
El peso,
m g = ρ (
2 a · 2 b
) g = 4 ρ a b g
El empuje,
E =
ρ
f
(
2 a · 2 b
2
) g = 2
ρ
f
a b g
En el equilibrio el momento del empuje respecto de C será igual al momento del peso respecto del mismo punto
4 ρ a b g |
C G
| = 2
ρ
f
a b g |
C D
|
ρ
ρ
f
=
1
2
|
C D
|
|
C G
|
=
1
2
|
A D
| − |
A C
|
|
A G
| − |
A C
|
Vamos a calular las tres distancias |AD|, |AC| y |AG|
|
A B
| =
(
2 a
)
2
+
(
2 b
)
2
= 2
a
2
+
b
2
cos α =
2 a
|
A B
|
|
A C
| = 2 a cos α =
2
a
2
a
2
+
b
2
|
A G
| =
|
A B
|
2
=
a
2
+
b
2
Para calcular la distancia |AD| tenemos que conocer la posición del centro de empuje (punto de color negro)
La posición del centro de empuje se calcula de forma similar al centro de masa
Abscisa xcm
x
c m
=
∫
0
2 a
x · d m
∫
0
2 a
d m
=
ρ
∫
0
2 a
x · (
y · d x
)
ρ
2 a · 2 b
2
=
∫
0
2 a
x · (
y · d x
)
2 a b
Relacionamos las variables y y x
y =
2 b
2 a
( 2 a − x )
El resultado es
x
c m
=
∫
0
2 a
(
2 a x −
x
2
) d x
2
a
2
=
2
3
a
Ordenada ycm
y
c m
=
∫
0
2 b
y · d m
∫
0
2 a
d m
=
ρ
∫
0
2 b
y · (
x · d y
)
ρ
2 a · 2 b
2
=
∫
0
2 b
y · (
x · d y
)
2 a b
Relacionamos las variables x e y
x =
2 a
2 b
( 2 b − y )
El resultado es
y
c m
=
∫
0
2 b
(
2 b y −
y
2
) d x
2
b
2
=
2
3
b
El centro de masas es la intersección de las medianas, las rectas de ecuación
{
y = −
b
2 a
x + b
y = −
2 b
a
x + 2 b
x
c m
=
2 a
3
,
y
c m
=
2 b
3
La distancia del vértice M al punto medio N, |MN| es
|
M N
| =
a
2
+ 4
b
2
La distancia del vértice M al centro de masas C, |MC| es
|
M C
| =
(
2 a
3
) +
(
2 b −
2 b
3
)
2
=
2
3
a
2
+ 4
b
2
=
2
3
|
M N
|
Un resultado conocido de geometría, dos tercios de la longitud de la mediana
Una vez que hemos calculado la posición del centro de empuje, determinamos la distancia que nos falta |AD|
|
A F
| =
(
2 b
)
2
+
a
2
=
4
b
2
+
a
2
|
A E
| =
2
3
|
A F
| =
2
3
4
b
2
+
a
2
|
A D
| = |
A E
| cos θ =
2
3
4
b
2
+
a
2
cos θ
Calculamos cosθ
cos θ = cos (
θ
1
−
θ
2
) = cos
θ
1
cos
θ
2
+ sin
θ
1
sin
θ
2
cos θ =
2 b
|
A B
|
2 b
|
A F
|
+
2 a
|
A B
|
a
|
A F
|
=
2 b
2
a
2
+
b
2
2 b
4
b
2
+
a
2
+
2 a
2
a
2
+
b
2
a
4
b
2
+
a
2
cos θ =
2
b
2
+
a
2
a
2
+
b
2
4
b
2
+
a
2
La distancia |AD| es
|
A D
| = |
A E
| cos θ =
2
3
2
b
2
+
a
2
a
2
+
b
2
Ya tenemos todas las distancias necesarias, despejamos la densidad relativa
ρ
ρ
f
=
1
2
|
A D
| − |
A C
|
|
A G
| − |
A C
|
ρ
ρ
f
=
1
2
2
3
2
b
2
+
a
2
a
2
+
b
2
−
2
a
2
a
2
+
b
2
a
2
+
b
2
−
2
a
2
a
2
+
b
2
=
2
3
que es independiente de las dimensiones de la placa rectangular
Solución
