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Otra forma de medir G

Una partícula de masa M describe un movimiento circular de radio R con velocidad angular constante ω. Un péndulo está hecho con un largo hilo inextensible de longitud l del que cuelga una partícula de masa m, está inicialmente en su posición de equilibrio. La fuerza de atracción entre las dos partículas hace que la partícula de masa m se mueva describiendo una trayectoria en forma de espiral cuando se cumple una determinada condición.

Las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m son:

La fuerza F₁ restauradora, que se produce cuando el péndulo está desviado un pequeño ángulo θ con respecto de la posición de equilibrio. La componente tangencial del peso vale mg·senθ, tal como se indica en la parte derecha de la figura. Si el ángulo θ es pequeño, podemos escribir

F₁≈ mg·sinθ=mgr/l

Las componentes de esta fuerza son (véase la figura más abajo)

${\displaystyle \begin{array}{l}{F}_{1x}=-F_1\frac{x}{r}=-mg\frac{x}{l}\\ F_{1y}=-F_1\frac{y}{r}=-mg\frac{y}{l}\end{array}}$

La fuerza F₂ de atracción entre la partícula de masa m y la partícula de masa M, tiene por módulo

${\displaystyle F_2=G\frac{Mm}{{(R\cos \omega t-x)}^2+{(R\text{sin}\omega t-y)}^2}}$

Las componentes de esta fuerza son

${\displaystyle \begin{array}{l}{F}_{2x}=G\frac{Mm(R\cos \omega t-x)}{{\left({(R\cos \omega t-x)}^2+{(R\text{sin}\omega t-y)}^2\right)}^{3/2}}\\ F_{2y}=G\frac{Mm(R\text{sen}\omega t-y)}{{\left({(R\cos \omega t-x)}^2+{(R\text{sin}\omega t-y)}^2\right)}^{3/2}}\end{array}}$

La ecuación del movimiento de la partícula de masa m es

ma_x=F_1x+F_2x
ma_y=F_1y+F_2y

Si consideramos que el desplazamiento r del péndulo respecto de la posición de equilibrio es pequeño frente al radio R de la partícula de masa M, las componentes F_2x y F_2y se expresarán

${\displaystyle \begin{array}{l}{F}_{2x}\approx G\frac{Mm(R\cos \omega t-x)}{R^3}\\ F_{2y}\approx G\frac{Mm(R\text{sen}\omega t-y)}{R^3}\end{array}}$

Las ecuaciones del movimiento se escriben en forma de ecuación diferencial

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\left(\frac{g}{l}+\frac{GM}{R^3}\right)x=\frac{GM}{R^2}\cos \omega t\\ \frac{d^{2}y}{d{t}^2}+\left(\frac{g}{l}+\frac{GM}{R^3}\right)y=\frac{GM}{R^2}\text{sin}\omega t\end{array}}$

o bien

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }_0^{2}x=\frac{GM}{R^2}\cos \omega t\\ \frac{d^{2}y}{d{t}^2}+{\omega }_0^{2}y=\frac{GM}{R^2}\text{sin}\omega t\end{array}}$

Se resuelve el sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden con las condiciones iniciales t=0, x=0, y=0, dx/dt=0, dy/dt=0, es decir, la partícula de masa m parte del origen con velocidad nula.

• Solución de la primera ecuación diferencial

La solución particular de la primera ecuación diferencial es x₁=K·cosωt

Introduciendo esta solución en la ecuación diferencial determinamos el valor de la constante K.

${\displaystyle x_1=\frac{GM}{R^2({\omega }_0^2-{\omega }^2)}\cos \omega t}$

La solución completa de la ecuación diferencial es

x=x₁+A·sinω₀t+B·cosω₀t

Las condiciones iniciales t=0, x=0, dx/dt=0 determinan los valores de las constantes A y B.

${\displaystyle x=\frac{GM}{R^2({\omega }_0^2-{\omega }^2)}\left(\cos \omega t-\cos {\omega }_{0}t\right)}$

• Solución de la segunda ecuación diferencial

La solución particular de la segunda ecuación diferencial es y₁=K·senωt

Introduciendo esta solución en la ecuación diferencial determinamos el valor de la constante K.

${\displaystyle y_1=\frac{GM}{R^2({\omega }_0^2-{\omega }^2)}\text{sin}\omega t}$

La solución completa de la ecuación diferencial es

y=y₁+A·senω₀t+ B·cosω₀t

Las condiciones iniciales t=0, y=0, dy/dt=0 determinan los valores de las constantes A y B.

${\displaystyle y=\frac{GM}{R^2({\omega }_0^2-{\omega }^2){\omega }_0}\left({\omega }_0\text{sin}\omega t-\omega \sin {\omega }_{0}t\right)}$

Caso particular

Cuando ω≈ω₀ tenemos para la solución de la primera ecuación diferencial

${\displaystyle \underset{\omega \to {\omega }_0}{\lim }\frac{\cos \omega t-\cos {\omega }_{0}t}{{\omega }_0^2-{\omega }^2}=\underset{\omega \to {\omega }_0}{\lim }\frac{-2\text{sin}\left(\frac{\omega +{\omega }_0}{2}t\right)}{({\omega }_0+\omega )}·\frac{\text{sin}\left(\frac{\omega -{\omega }_0}{2}t\right)}{({\omega }_0-\omega )}=\frac{\sin \omega t}{\omega }·\frac{t}{2}}$

La solución de la primera ecuación diferencial se convierte en

${\displaystyle x=\frac{GM}{R^2}\frac{t}{2\omega }\sin \omega t}$

Para la solución de la segunda ecuación diferencial

${\displaystyle \underset{\omega \to {\omega }_0}{\lim }\frac{{\omega }_0\sin \omega t-\omega \sin {\omega }_{0}t}{{\omega }_0({\omega }_0^2-{\omega }^2)}=\underset{\omega \to {\omega }_0}{\lim }\frac{2\text{cos}\left(\frac{\omega +{\omega }_0}{2}t\right)}{({\omega }_0+\omega )}·\frac{\sin \left(\frac{\omega -{\omega }_0}{2}t\right)}{({\omega }_0-\omega )}=-\frac{\text{cos}\omega t}{\omega }·\frac{t}{2}}$

La solución de la segunda ecuación diferencial se convierte en

${\displaystyle y=-\frac{GM}{R^2}\frac{t}{2\omega }\text{cos}\omega t}$

La distancia r de la partícula de masa m al origen es

${\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2}=\frac{GM}{R^2}\frac{t}{2\omega }}$

La distancia r se incrementa proporcionalmente al tiempo t, la partícula describe una espiral que parte del origen.

Tenemos que diseñar nuestro experimento simulado de modo que la frecuencia

${\displaystyle {\omega }_0=\sqrt{\frac{g}{l}+\frac{GM}{R^3}}}$

coincida con gran aproximación con la velocidad angular ω de rotación de la partícula de masa M.

Actividades

Se introduce

• La masa M de la partícula en kg, que describe el movimiento circular, en el control de edición titulado Masa
• El radio R de la circunferencia que describe en cm, en el control de edición titulado Radio, el valor introducido deberá estar comprendido entre 6 y 10 cm.
• La velocidad angular de rotación ω, en rad/s, en el control de edición titulado V. angular
• La longitud del péndulo se ha fijado en el valor l=1.2 m

Se pulsa el botón titulado Nuevo, y a continuación, de pulsa en el botón titulado Empieza.

Observamos el movimiento circular de la partícula de masa M, el péndulo estará prácticamente inmóvil en el origen. En la parte superior izquierda del applet, se indica el instante t en segundos, y la desviación del péndulo  (distancia al origen) r en mm.

Introducimos el tiempo t en medido en horas en el control de edición titulado Tiempo, y pulsamos el botón titulado Empieza.

• En el control área de texto situado a la izquierda, se guardan los datos del tiempo t en horas y de la desviación r en mm.

• Se observa el movimiento del péndulo en dicho instante y posteriores.

Volvemos a introducir otro tiempo medido en horas en el control de edición titulado Tiempo, y pulsamos el botón titulado Empieza, y así sucesivamente.

Cuando tengamos suficientes resultados “experimentales” pulsamos el botón titulado Gráfica.

Para empezar otra experiencia, con otros datos de la masa M, el radio R y la velocidad angular de rotación ω, se pulsa el botón titulado Nuevo.

Podemos cambiar la escala de observación, activando alguno de los botones de radio titulados dm, cm y mm. En la primera escala dm observamos el movimiento circular de la partícula de masa M, en las otras escalas está muy alejada del origen y desaparece de la ventana del applet.

El péndulo no se desviará apenas de su posición de equilibrio si ω es distinto de ω₀, tal como podemos comprobar en el applet y calcular a partir de las ecuaciones del movimiento.

Ejemplo:

• Sea la masa M=50 kg de la partícula que describe el movimiento circular de radio R=8 cm=0.08 m
• La longitud del péndulo es l=1.2 m
• La aceleración de la gravedad g=9.8 m/s²
• La constante de la gravitación universal es G=6.67·10^-11 Nm²/kg²

 La frecuencia

${\displaystyle {\omega }_0=\sqrt{\frac{9.8}{1.2}+\frac{6.67·{10}^{-11}·50}{{0.08}^3}}=2.857739\text{rad/s}}$

se diferencia muy poco de la frecuencia angular de oscilación del péndulo, debido a que el segundo término que contiene la constante G es muy pequeño.

Introducimos la velocidad angular de rotación ω=3 rad/s. calculamos x e y en el instante t=1hora=3600 s

${\displaystyle x=\frac{6.67·{10}^{-11}50}{{0.08}^2({2.857739}^2-3^2)}\left(\cos 10800-\cos 10287.86\right)=-8.48·{10}^{-7}\text{m}}$

Lo mismo ocurre para y. El péndulo no se desvía apenas del origen, incluso después de un tiempo muy grande.

La desviación se incrementa apreciablemente cuando ω≈ω₀=2.857739, al cabo de una hora la desviación del péndulo es

${\displaystyle r=\frac{GM}{R^2}\frac{t}{2\omega }=\frac{6.67·{10}^{-11}·50}{{0.08}^2}\frac{1·3600}{2·2.857739}=0.328·{10}^{-3}\text{m}=\text{0}\text{.328}\text{mm}}$

Que podemos observar activando el botón de radio titulado mm.

Se debe procurar introducir un tiempo t que no sea lo suficientemente grande como para que deje de cumplirse la condición de que r<<R, en la que nos hemos basado para obtener una expresión simple que describa aproximadamente el movimiento del péndulo.

Comprobar que cuando ω≈ω₀ la desviación r

• Es proporcional a la masa M
• Es inversamente proporcional al cuadrado del radio R de la partícula de masa M que describe la trayectoria circular.
• Es proporcional al tiempo t.

En la experiencia simulada, se obtendrá el valor de G a partir de la medida de pendiente de la recta

${\displaystyle r=\frac{GM}{2R^2\omega }t}$

Cuando se pulsa el botón titulado Gráfica, se traza una línea recta y se dibujan una serie de puntos de color rojo que representan los resultados “experimentales”.

• en el eje vertical, se representa la desviación del péndulo r en mm,
• en el eje horizontal, el tiempo transcurrido t en horas.

Si introducimos los datos

• La masa M=50 kg de la partícula que describe el movimiento circular

• Su radio R=8 cm=0.08 m

• Velocidad angular ω=2.8577 rad/s

Pulsamos el botón titulado Nuevo, cambiamos varias veces el valor del tiempo t pulsando el botón titulado Empieza y finalmente, pulsamos el botón titulado Gráfica. Observamos la representación gráfica de los datos "experimentales" y de la recta. Anotamos el valor de su pendiente 0.328. mm/h. Con este dato calculamos G.

${\displaystyle \frac{0.328}{1000·3600}=\frac{G·50}{2·{0.08}^2·2.8577}G=6.665·{10}^{-11}\frac{\text{N}{\text{m}}^{\text{2}}}{{\text{kg}}^{\text{2}}}}$

Referencias

Sheppard D. Using one pendulum and a rotating mass to measure the Universal Gravitational Constant. Am. J. Phys. 38 (1970), pp. 380

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García