Anterior

Otra forma de medir G

Una partícula de masa M describe un movimiento circular de radio R con velocidad angular constante ω. Un péndulo está hecho con un largo hilo inextensible de longitud l del que cuelga una partícula de masa m, está inicialmente en su posición de equilibrio. La fuerza de atracción entre las dos partículas hace que la partícula de masa m se mueva describiendo una trayectoria en forma de espiral cuando se cumple una determinada condición.

Las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m son:

La fuerza F1 restauradora, que se produce cuando el péndulo está desviado un pequeño ángulo θ con respecto de la posición de equilibrio. La componente tangencial del peso vale mg·senθ, tal como se indica en la parte derecha de la figura. Si el ángulo θ es pequeño, podemos escribir

F1 mg·sinθ=mgr/l

Las componentes de esta fuerza son (véase la figura más abajo)

F 1x = F 1 x r =mg x l F 1y = F 1 y r =mg y l

La fuerza F2 de atracción entre la partícula de masa m y la partícula de masa M, tiene por módulo

F 2 =G Mm (Rcosωtx) 2 + (Rsinωty) 2

Las componentes de esta fuerza son

F 2x =G Mm(Rcosωtx) ( (Rcosωtx) 2 + (Rsinωty) 2 ) 3/2 F 2y =G Mm(Rsenωty) ( (Rcosωtx) 2 + (Rsinωty) 2 ) 3/2

La ecuación del movimiento de la partícula de masa m es

max=F1x+F2x
may=F1y+F2y

Si consideramos que el desplazamiento r del péndulo respecto de la posición de equilibrio es pequeño frente al radio R de la partícula de masa M, las componentes F2x y F2y se expresarán

F 2x G Mm(Rcosωtx) R 3 F 2y G Mm(Rsenωty) R 3

Las ecuaciones del movimiento se escriben en forma de ecuación diferencial

d 2 x d t 2 +( g l + GM R 3 )x= GM R 2 cosωt d 2 y d t 2 +( g l + GM R 3 )y= GM R 2 sinωt

o bien

d 2 x d t 2 + ω 0 2 x= GM R 2 cosωt d 2 y d t 2 + ω 0 2 y= GM R 2 sinωt

Se resuelve el sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden con las condiciones iniciales t=0, x=0, y=0, dx/dt=0, dy/dt=0, es decir, la partícula de masa m parte del origen con velocidad nula.

La solución particular de la primera ecuación diferencial es x1=K·cosωt

Introduciendo esta solución en la ecuación diferencial determinamos el valor de la constante K.

x 1 = GM R 2 ( ω 0 2 ω 2 ) cosωt

La solución completa de la ecuación diferencial es

x=x1+A·sinω0t+B·cosω0t

Las condiciones iniciales t=0, x=0, dx/dt=0 determinan los valores de las constantes A y B.

x= GM R 2 ( ω 0 2 ω 2 ) ( cosωtcos ω 0 t )

La solución particular de la segunda ecuación diferencial es y1=K·senωt

Introduciendo esta solución en la ecuación diferencial determinamos el valor de la constante K.

y 1 = GM R 2 ( ω 0 2 ω 2 ) sinωt

La solución completa de la ecuación diferencial es

y=y1+A·senω0t+ B·cosω0t

Las condiciones iniciales t=0, y=0, dy/dt=0 determinan los valores de las constantes A y B.

y= GM R 2 ( ω 0 2 ω 2 ) ω 0 ( ω 0 sinωtωsin ω 0 t )

Caso particular

Cuando ω≈ω0 tenemos para la solución de la primera ecuación diferencial

lim ω ω 0 cosωtcos ω 0 t ω 0 2 ω 2 = lim ω ω 0 2sin( ω+ ω 0 2 t ) ( ω 0 +ω) · sin( ω ω 0 2 t ) ( ω 0 ω) = sinωt ω · t 2

La solución de la primera ecuación diferencial se convierte en

x= GM R 2 t 2ω sinωt

Para la solución de la segunda ecuación diferencial

lim ω ω 0 ω 0 sinωtωsin ω 0 t ω 0 ( ω 0 2 ω 2 ) = lim ω ω 0 2cos( ω+ ω 0 2 t ) ( ω 0 +ω) · sin( ω ω 0 2 t ) ( ω 0 ω) = cosωt ω · t 2

La solución de la segunda ecuación diferencial se convierte en

y= GM R 2 t 2ω cosωt

La distancia r de la partícula de masa m al origen es

r= x 2 + y 2 = GM R 2 t 2ω

La distancia r se incrementa proporcionalmente al tiempo t, la partícula describe una espiral que parte del origen.

Tenemos que diseñar nuestro experimento simulado de modo que la frecuencia

ω 0 = g l + GM R 3

coincida con gran aproximación con la velocidad angular ω de rotación de la partícula de masa M.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo, y a continuación, de pulsa en el botón titulado Empieza.

Observamos el movimiento circular de la partícula de masa M, el péndulo estará prácticamente inmóvil en el origen. En la parte superior izquierda del applet, se indica el instante t en segundos, y la desviación del péndulo  (distancia al origen) r en mm.

Introducimos el tiempo t en medido en horas en el control de edición titulado Tiempo, y pulsamos el botón titulado Empieza.

Volvemos a introducir otro tiempo medido en horas en el control de edición titulado Tiempo, y pulsamos el botón titulado Empieza, y así sucesivamente.

Cuando tengamos suficientes resultados “experimentales” pulsamos el botón titulado Gráfica.

Para empezar otra experiencia, con otros datos de la masa M, el radio R y la velocidad angular de rotación ω, se pulsa el botón titulado Nuevo.

Podemos cambiar la escala de observación, activando alguno de los botones de radio titulados dm, cm y mm. En la primera escala dm observamos el movimiento circular de la partícula de masa M, en las otras escalas está muy alejada del origen y desaparece de la ventana del applet.

El péndulo no se desviará apenas de su posición de equilibrio si ω es distinto de ω0, tal como podemos comprobar en el applet y calcular a partir de las ecuaciones del movimiento.

Ejemplo:

 La frecuencia

ω 0 = 9.8 1.2 + 6.67· 10 11 ·50 0.08 3 =2.857739rad/s

se diferencia muy poco de la frecuencia angular de oscilación del péndulo, debido a que el segundo término que contiene la constante G es muy pequeño.

Introducimos la velocidad angular de rotación ω=3 rad/s. calculamos x e y en el instante t=1hora=3600 s

x= 6.67· 10 11 50 0.08 2 ( 2.857739 2 3 2 ) ( cos10800cos10287.86 )=8.48· 10 7 m

Lo mismo ocurre para y. El péndulo no se desvía apenas del origen, incluso después de un tiempo muy grande.

La desviación se incrementa apreciablemente cuando ω≈ω0=2.857739, al cabo de una hora la desviación del péndulo es

r= GM R 2 t 2ω = 6.67· 10 11 ·50 0.08 2 1·3600 2·2.857739 =0.328· 10 3 m=0.328mm

Que podemos observar activando el botón de radio titulado mm.

Se debe procurar introducir un tiempo t que no sea lo suficientemente grande como para que deje de cumplirse la condición de que r<<R, en la que nos hemos basado para obtener una expresión simple que describa aproximadamente el movimiento del péndulo.

Comprobar que cuando ω≈ω0 la desviación r

En la experiencia simulada, se obtendrá el valor de G a partir de la medida de pendiente de la recta

r= GM 2 R 2 ω t

Cuando se pulsa el botón titulado Gráfica, se traza una línea recta y se dibujan una serie de puntos de color rojo que representan los resultados “experimentales”.

Si introducimos los datos

Pulsamos el botón titulado Nuevo, cambiamos varias veces el valor del tiempo t pulsando el botón titulado Empieza y finalmente, pulsamos el botón titulado Gráfica. Observamos la representación gráfica de los datos "experimentales" y de la recta. Anotamos el valor de su pendiente 0.328. mm/h. Con este dato calculamos G.

0.328 1000·3600 = G·50 2· 0.08 2 ·2.8577 G=6.665· 10 11 N 2 m 2 kg 2

Referencias

Sheppard D. Using one pendulum and a rotating mass to measure the Universal Gravitational Constant. Am. J. Phys. 38 (1970), pp. 380

Anterior