El péndulo simple

En esta página estudiamos el comportamiento del péndulo simple cuando su amplitud es pequeña. En el capítulo de Oscilaciones estudiaremos el comportamiento del péndulo para cualquier valor de la amplitud

Descripción

Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida del punto O por un hilo inextensible de longitud l y de masa despreciable.

Si la partícula se desplaza a una posición θ₀ (ángulo que hace el hilo con la vertical) y luego se suelta, el péndulo comienza a oscilar.

El péndulo describe una trayectoria circular, un arco de una circunferencia de radio l. Estudiaremos su movimiento en la dirección tangencial y en la dirección normal.

Las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m son dos

el peso mg
La tensión T del hilo

Descomponemos el peso en la acción simultánea de dos componentes, mg·senθ en la dirección tangencial y mg·cosθ en la dirección radial.

Ecuación del movimiento en la dirección radial

La aceleración de la partícula es a_n=v²/l dirigida radialmente hacia el centro de su trayectoria circular.

La segunda ley de Newton se escribe

ma_n=T-mg·cosθ

Conocido el valor de la velocidad v en la posición angular θ podemos determinar la tensión T del hilo.

La tensión T del hilo es máxima, cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio, T=mg+mv²/l

Es mínima, en los extremos de su trayectoria cuando la velocidad es cero, T=mgcosθ₀

Principio de conservación de la energía

En la posición θ=θ₀ el péndulo solamente tiene energía potencial, que se transforma en energía cinética cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio.

Comparemos dos posiciones del péndulo:

En la posición extrema θ=θ₀, la energía es solamente potencial.

E=mg(l-l·cosθ₀)

En la posición θ, la energía del péndulo es parte cinética y la otra parte potencial

$E = \frac{1}{2} m v^{2} + m g (l - l \cos θ)$

La energía se conserva

v²=2gl(cosθ-cosθ₀)

La tensión de la cuerda es

T=mg(3cosθ-2cosθ₀)

La tensión de la cuerda no es constante, sino que varía con la posición angular θ. Su valor máximo se alcanza cuando θ=0, el péndulo pasa por la posición de equilibrio (la velocidad es máxima). Su valor mínimo, cuando θ=θ₀ (la velocidad es nula).

Ecuación del movimiento en la dirección tangencial

La aceleración de la partícula es a_t=dv/dt.

La segunda ley de Newton se escribe

ma_t=-mg·senθ

La relación entre la aceleración tangencial a_t y la aceleración angular α es a_t=α ·l. La ecuación del movimiento se escribe en forma de ecuación diferencial

$\frac{d^{2} θ}{d t^{2}} + \frac{g}{l} \sin θ = 0$

Medida de la aceleración de la gravedad

Cuando el ángulo θ es pequeño entonces, sinθ ≈ θ , el péndulo describe oscilaciones armónicas cuya ecuación es

θ =θ₀·sin(ω t+φ)

de frecuencia angular ω²=g/l, o de periodo

$P = 2 π \sqrt{\frac{l}{g}}$

La ley de la gravitación de Newton describe la fuerza de atracción entre dos cuerpos de masas M y m respectivamente cuyos centros están separados una distancia r.

La intensidad del campo gravitatorio g, o la aceleración de la gravedad en un punto P situado a una distancia r del centro de un cuerpo celeste de masa M es la fuerza sobre la unidad de masa g=F/m colocada en dicho punto.

$g = G \frac{M}{r^{2}}$

su dirección es radial y dirigida hacia el centro del cuerpo celeste.

En la página dedicada al estudio del Sistema Solar, proporcionamos los datos relativos a la masa (o densidad) y radio de los distintos cuerpos celestes.

Si el planeta tiene un movimiento de rotación, no es una esfera perfecta, la aceleración de la gravedad depende de la latitud, tal como se estudia en la página titulada La forma de la Tierra.

Ejemplo:

Marte tiene un radio de 3394 km y una masa de 0.11 masas terrestres (5.98·10²⁴ kg). La aceleración g de la gravedad en su superficie es

$g = 6.67 \cdot 10^{- 11} \frac{0.11 \cdot 5.98 \cdot 10^{24}}{{(3394 \cdot 1000)}^{2}} = 3.81 {m/s}^{2}$

Tenemos dos procedimientos para medir esta aceleración

Cinemática

Se mide con un cronómetro el tiempo t que tarda en caer una partícula desde una altura h. Se supone que h es mucho más pequeña que el radio r del cuerpo celeste.

$h = \frac{1}{2} g t^{2}$

Oscilaciones

Se emplea un instrumento mucho más manejable, un péndulo simple de longitud l. Se mide el periodo de varias oscilaciones para minimizar el error de la medida y se calculan el periodo P de una oscilación. Finalmente, se despeja g de la fórmula del periodo.

De la fórmula del periodo establecemos la siguiente relación lineal.

$\frac{P^{2}}{4 π^{2}} = \frac{1}{g} l$

Se representan los datos "experimentales" en un sistema de ejes:

P²/(4π²) en el eje vertical y
La longitud del péndulo l en el eje horizontal.

La pendiente de la recta es la inversa de la aceleración de la gravedad g.

Actividades

Se selecciona un cuerpo celeste de la lista de cuerpos celestes, en el control selección titulado Planeta

Se establece la longitud l del péndulo en cm, actuando en la barra de desplazamiento.

Se pulsa el botón titulado En marcha, para poner en marcha el cronómetro, se pulsa el misma botón titulado Parar, para medir el intervalo de tiempo. En esta "experiencia" se mide el tiempo de cinco oscilaciones

Se cambia la longitud del péndulo y se realiza una nueva medida y así sucesivamente.

En el control área de texto, situado a la izquierda del applet se recoge los datos "experimentales", longitud del péndulo (en m) periodo (de una oscilación en s). Cuando se tienen suficientes datos se pulsa el botón titulado Gráfica.

El programa interactivo traza la recta cuya pendiente es la inversa de la aceleración de la gravedad g y los datos "experimentales" en forma de puntos de color rojo.