Movimiento de la cinta de una casete

El contador del reproductor de la casete

Una experiencia que se puede llevar a cabo con la ayuda de un cronómetro es la de establecer una relación entre la lectura n del contador del reproductor de la casete y el tiempo t transcurrido. Vamos a comprobar que esta relación no es lineal

Supongamos que en el instante t=0, el radio de la rueda izquierda es r₀, el contador se pone a cero. En el instante final T, el radio de la rueda izquierda es R₀, y la lectura del contador es N.

La lectura n del contador en el instante t es directamente proporcional al ángulo girado por la rueda izquierda θ₁ hasta dicho instante.

$\begin{array}{l} n = k \cdot θ_{1} = k \frac{2 π}{h} (r_{1} - r_{0}) \\ N = k \frac{2 π}{h} (R_{0} - r_{0}) \end{array}$

Eliminando la constante de proporcionalidad k entre las dos ecuaciones

$\frac{n}{N} = \frac{r_{1} - r_{0}}{R_{0} - r_{0}} = \frac{\sqrt{r_{0}^{2} + \frac{h v}{π} t} - r_{0}}{R_{0} - r_{0}}$

Despejando el tiempo t

$t = \frac{π}{h v} (R_{0} - r_{0}) ((R_{0} - r_{0}) \frac{n^{2}}{N^{2}} + 2 r_{0} \frac{n}{N}) = T (\frac{R_{0} - r_{0}}{R_{0} + r_{0}} \frac{n^{2}}{N^{2}} + \frac{2 r_{0}}{R_{0} + r_{0}} \frac{n}{N})$

Supongamos que en el instante inicial t=0, el radiode la rueda izquierda es r₀=1.11 cm, el radio de la rueda derecha es R₀=2.46 cm, y la lectura del contador es n=0. Cuando la cinta está completamente enrollada en la rueda izquierda ha trascurrido un tiempo de T=46.4 minutos, la lectura del contador es N=744.

$t = 46.4 \cdot 60 (\frac{2.46 - 1.11}{2.46 + 1.11} \frac{n^{2}}{744^{2}} + \frac{2 \cdot 1.11}{2.46 + 1.11} \frac{n}{744})$

t=0.0019·n²+2.33·n

En la figura, se representa t en función de n. Se sugiere al lector que analice el comportamiento de su reproductor de casete y complete una tabla como la siguiente, y represente los datos en una gráfica semejante a la figura anterior.

n	t (s)
0	0
100	242
200	487
300	854
400	1220
500	1626
600	2072
700	2558
744	2786

n/100	t(min)
0	0
1	4.03
2	8.12
3	14.23
4	20.33
5	27.1
6	34.53
7	42.63
7.44	46.43

El siguiente programa interactivo ajusta un conjunto de pares de datos al polinomio de segundo grado

y=a₀+a₁x+a₂x²