El dico compacto CD

El disco compacto CD

Un disco compacto CD tiene 6 cm de radio, 1.2 mm de espesor con un agujero central de 7.5 mm de radio. La información digital se graba en una espiral de Arquímedes de paso h constante

$R = R_{0} + \frac{h}{2 π} θ$

La pista más cercna al eje tiene un radio R₀=23 mm y la más alejada R_f=58 mm, h=1.6μm es la separación entre pistas. El número de pistas (vueltas) es, por tanto.

$N = \frac{R_{f} - R_{0}}{h} = \frac{58 - 23}{0.0016} = 21875$

El tiempo total que se emplea en leer a velocidad (lineal) constante la totalidad de las pistas del disco es T=72 min.

En la figura, por razón de claridad se representa un CD con solo N=10 pistas, separadas h=3.5 mm.

Longitud de una espiral de Arquímedes

Vamos a obtener la longitud s de una espiral de Arquímedes por tres métodos distintos, uno exacto y dos aproximados. El primer método nos permite practicar el cálculo integral en particular, las funciones sinh, seno hiperbólico y cosh, coseno hiperbólico.

$s = \int_{A}^{B} \sqrt{d x^{2} + d y^{2}}$

Cálculo excato

En coordenadas polares

x=r·cosθ
y=r·sinθ

dx=cosθ·dr-rsinθ·dθ
dy=sinθ·dr-rcosθ·dθ

$s = \int_{A}^{B} \sqrt{d r^{2} + r^{2} d θ^{2}}$

En el caso de la espiral de Arquímedes

$r = R_{0} + \frac{h}{2 π} θ d r = \frac{h}{2 π} d θ$

Para calcular la longitud de la espiral se integra entre θ=0, y θ=2πN, donde N es el número de pistas.

$s = \int_{0}^{2 π N} \sqrt{\frac{h^{2}}{4 π^{2}} + {(R_{0} + \frac{h}{2 π} θ)}^{2}} d θ = \frac{2 π}{h} \int_{0}^{2 π N} \sqrt{\frac{h^{2}}{4 π^{2}} + {(R_{0} + \frac{h}{2 π} θ)}^{2}} (\frac{h}{2 π} d θ)$

Para resolver la integral del tipo

$\int \sqrt{a^{2} + u^{2}} d u u = R_{0} + \frac{h}{2 π} θ a = \frac{h}{2 π}$

se hace el cambio de variable

u=a·sinht, du=acosht

$\begin{array}{l} \int \sqrt{a^{2} + u^{2}} d u = \int a \cdot \cosh t \cdot a \cdot \cosh t \cdot d t = a^{2} \int \cosh^{2} t \cdot d t = a^{2} \int \frac{\cosh (2 t) + 1}{2} d t = \\ \frac{a^{2}}{2} (\frac{1}{2} sinh(2 t) + t) = \frac{a^{2}}{2} (sinh t \cdot \cosh t + t) \end{array}$

Deshaciendo el cambio de variable

$\sinh t = \frac{u}{a} \cosh t = \frac{\sqrt{a^{2} + u^{2}}}{a} e^{t} = \cosh t + \sinh t = \frac{u + \sqrt{a^{2} + u^{2}}}{a}$

La función integrando es

$\int \sqrt{a^{2} + u^{2}} d u = \frac{u}{2} \sqrt{a^{2} + u^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \ln (u + \sqrt{a^{2} + u^{2}}) - \frac{a^{2}}{2} \ln a$

El resultado final de la longitud de la espiral de Arquímedes es

$\begin{array}{l} s = \int_{0}^{2 π N} \sqrt{\frac{h^{2}}{4 π^{2}} + {(R_{0} + \frac{h}{2 π} θ)}^{2}} d θ = \\ \frac{2 π}{h} ({\begin{array}{l} \frac{1}{2} (R_{0} + \frac{h}{2 π} θ) \sqrt{\frac{h^{2}}{4 π^{2}} + {(R_{0} + \frac{h}{2 π} θ)}^{2}} + \\ \frac{h^{2}}{8 π^{2}} \ln ((R_{0} + \frac{h}{2 π} θ) + \sqrt{\frac{h^{2}}{4 π^{2}} + {(R_{0} + \frac{h}{2 π} θ)}^{2}}) - \frac{h^{2}}{8 π^{2}} \ln (\frac{h}{2 π}) \end{array} |}_{0}^{2 π N}) | \\ = \frac{2 π}{h} {\begin{cases} \frac{1}{2} R_{f} \sqrt{\frac{h^{2}}{4 π^{2}} + R_{f}^{2}} + \frac{h^{2}}{8 π^{2}} \ln (R_{f} + \sqrt{\frac{h^{2}}{4 π^{2}} + R_{f}^{2}}) \\ - \frac{1}{2} R_{0} \sqrt{\frac{h^{2}}{4 π^{2}} + R_{0}^{2}} - \frac{h^{2}}{8 π^{2}} \ln (R_{0} + \sqrt{\frac{h^{2}}{4 π^{2}} + R_{0}^{2}}) \end{cases} \end{array}$

Introduciendo los datos en el resultado final

$\begin{array}{l} s = \frac{2 π}{0.0016} {\begin{cases} \frac{1}{2} 58 \sqrt{\frac{{0.0016}^{2}}{4 π^{2}} + 58^{2}} + \frac{{0.0016}^{2}}{8 π^{2}} \ln (58 + \sqrt{\frac{{0.0016}^{2}}{4 π^{2}} + 58^{2}}) - \\ \frac{1}{2} 23 \sqrt{\frac{{0.0016}^{2}}{4 π^{2}} + 23^{2}} - \frac{{0.0016}^{2}}{8 π^{2}} \ln (23 + \sqrt{\frac{{0.0016}^{2}}{4 π^{2}} + 23^{2}}) \end{cases} \\ = 5566509 mm = 5566 .5 m \end{array}$

Cálculo aproximado

Obtenemos una solución aproximada de la integral, si nos damos cuenta que el primer término debajo de la raíz cuadrada h²/(4π²) es muy pequeño en comparación con el segundo.

$\begin{array}{l} s = \int_{0}^{2 π N} \sqrt{\frac{h^{2}}{4 π^{2}} + {(R_{0} + \frac{h}{2 π} θ)}^{2}} d θ \approx \int_{0}^{2 π N} (R_{0} + \frac{h}{2 π} θ) d θ = {R_{0} θ + \frac{h}{4 π} θ^{2} |}_{0}^{2 π N} = \\ R_{0} 2 π N + \frac{h}{4 π} {(2 π N)}^{2} = 23 \cdot 2 π \cdot 21875 + \frac{0.0016}{4 π} {(2 π \cdot 21875)}^{2} = 5566509 mm = 5566.5 m \end{array}$

La longitud de la espiral de Arquímedes se puede obtener aún más rápidamente, calculando el radio medio R_m=(R₀+R_f)/2=40.5 mm de las pistas y multiplicando la longitud de la pista media por el número N de pistas considerando que tienen el mismo radio R_m

s=N·2πR_m=5566.5 m

Velocidad angular de rotación

La velocidad de lectura es constante, v=s/T

$v = \frac{5566}{72 \cdot 60} = 1.29 m/s$

Sin embargo, la velocidad angular de rotación cambia, la velocidad angular inicial es

ω₀=v/R₀=56.0 rad/s y la velocidad angular final es ω_f=v/R_f=22.2 rad/s

La velocidad angular de rotación en función del ángulo θ es

$ω = \frac{v}{r} \frac{d θ}{d t} = \frac{v}{R_{0} + \frac{h}{2 π} θ}$

Integrando

$\begin{array}{l} \int_{0}^{θ} (R_{0} + \frac{h}{2 π} θ) d θ = \int_{0}^{t} v \cdot d t \\ \frac{h}{4 π} θ^{2} + R_{0} θ - v t = 0 \\ θ = \frac{2 π R_{0}}{h} (\sqrt{1 + \frac{h v t}{π R_{0}^{2}}} - 1) \end{array}$

En el instante t=72·60=4320 s que se completa la lectura del CD

$θ = \frac{2 π \cdot 23}{0.0016} (\sqrt{1 + \frac{0.0016 \cdot 1290 \cdot 4320}{π \cdot 23^{2}}} - 1) = 137444.7 rad = 21875 vueltas$

Derivando con respecto del tiempo obtenemos la expresión de la velocidad angular ω en función del tiempo t.

$ω = \frac{d θ}{d t} = \frac{v}{R_{0}} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{h v t}{π R_{0}^{2}}}} = \frac{ω_{0}}{\sqrt{1 + \frac{ω_{0} h t}{π R_{0}}}}$

Donde ω₀=v/R₀ es la velocidad angular inicial, para t=0

En la figura, se muestra la variación de la velocidad angular ω con el tiempo t.

Referencias

McKelvey J.P. Kinematics of tape recording. Am. J. Phys. 49 (1) January 1981.

Sawicki M. Angular speed of a compact disc. The Physics Teacher Vol 44, September 2006, pp. 378-38