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Relación entre las magnitudes angulares y lineales

Magnitudes lineales y angulares

De la definición de radián (unidad natural de medida de ángulos) obtenemos la relación entre el arco y el radio. Como vemos en la figura, el ángulo se obtiene dividiendo la longitud del arco entre su radio

${\displaystyle \theta =\frac{s}{r}=\frac{s\text{'}}{r\text{'}}}$

Derivando s=rθ  respecto del tiempo, obtenemos la relación entre la velocidad lineal y la velocidad angular

${\displaystyle \frac{ds}{dt}=r\frac{d\theta }{dt}v=r\omega }$

La dirección de la velocidad es tangente a la trayectoria circular, es decir, perpendicular a la dirección radial

Aceleración tangencial

Derivando esta última relación con respecto del tiempo obtenemos la relación entre la aceleración tangencial a_t y la aceleración angular.

${\displaystyle \frac{dv}{dt}=r\frac{d\omega }{dt}{a}_t=r\alpha }$

Un móvil tiene aceleración tangencial, siempre que el módulo de su velocidad cambie con el tiempo.

Aceleración normal

El cálculo de la componente normal de la aceleración es algo más complicado. La aceleración normal está relacionada con el cambio de la dirección de la velocidad con el tiempo. En un movimiento circular uniforme no existe aceleración tangencial ya que le módulo de la velocidad no cambia con el tiempo, solamente cambia su dirección y por tanto, tiene aceleración normal.

Supongamos un móvil que describe un movimiento circular uniforme.

• En el instante t la velocidad del móvil es v, cuyo módulo es v, y cuya dirección es tangente a la circunferencia.
• En el instante t' la velocidad del móvil v', que tiene el mismo módulo v, pero su dirección ha cambiado.

Calculemos el cambio de velocidad Δv=v’-v que experimenta el móvil entre los instantes t y t', tal como se ve en la figura. El vector Δv tiene dirección radial y sentido hacia el centro de la circunferencia. Los triángulos de color rojo y de color azul de la figura son isósceles y semejantes por lo que podemos establecer la siguiente relación

${\displaystyle \frac{\Delta s}{r}=\frac{\Delta v}{v}}$

Donde la cuerda Δs es el módulo del vector desplazamiento entre los instantes t y t'

Dividiendo ambos miembros entre el intervalo de tiempo Δt=t'-t

${\displaystyle \frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v}{r}\frac{\Delta s}{\Delta t}}$

Cuando el intervalo de tiempo Δt tiende a cero, la cuerda Δs se aproxima al arco, y el cociente ds/dt nos da el módulo de la velocidad v del móvil,

${\displaystyle a_n=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v}{r}\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{v}{r}\frac{ds}{dt}}$

La aceleración normal a_n tiene dirección radial y sentido hacia el centro de la circunferencia que describe el móvil y su módulo viene dado por una u otra de las expresiones siguientes:

${\displaystyle a_n=\frac{v^2}{r}={\omega }^{2}r}$

Esta es la deducción más elemental de la fórmula de la aceleración normal que se basa en la identificación de la longitud del arco entre dos puntos de la circunferencia con la cuerda que pasa por dichos puntos, cuando ambos puntos están muy próximos entre sí. Una deducción alternativa se proporciona en la página titulada "Deducción alternativa de las fórmulas de la aceleración tangencial y normal"

Resumiendo

La dirección de la velocidad de un móvil en movimiento circular es tangente a la circunferencia que describe.

Un móvil tiene aceleración tangencial a_t siempre que cambie el módulo de la velocidad con el tiempo. El sentido de la aceleración tangencial es el mismo que el de la velocidad si el móvil acelera y es de sentido contrario, si se frena. Un móvil que describe un movimiento circular uniforme no tiene aceleración tangencial.

Un móvil que describe un movimiento circular siempre tiene aceleración normal, a_n ya que cambia la dirección de la velocidad con el tiempo. La aceleración normal tiene dirección radial y sentido hacia el centro de la circunferencia que describe.

La aceleración del móvil se obtiene sumando vectorialmente ambas componentes de la aceleración.

Ejemplo

Una rueda de r=0.1 m de radio está girando con una velocidad de ω₀=4π rad/s, se le aplican los frenos y se detiene en 4s. Calcular

• La aceleración angular

ω=ω₀+αt

En el instante t=4 s la velocidad angular ω=0

α=-π rad/s²

El ángulo girado hasta este instante es

${\displaystyle \begin{array}{l}\theta ={\theta }_0+{\omega }_{0}t+\frac{1}{2}\alpha t^2\\ \theta =0+4\pi ·4+\frac{1}{2}(-\pi )4^2=8\pi \text{rad}\end{array}}$

• En el instante t=1 s, la posición y la velocidad angular del móvil es

θ=7π/2=2π+3π/2 rad

ω=4π+(-π)·1=3π rad/s

La velocidad lineal

v=ω·r     v=0.3π m/s

La componente tangencial de la aceleración es

a_t=α·r      a_t=-0.1π m/s²

La componente normal de la aceleración es

a_n=v²/r    a_n=0.9π² m/s²

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García