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Galileo y Descartes ya reconocieron que una partícula que describe un movimiento circular uniforme tiene aceleración. Huygens fue el primero que resolvió este problema. Sin embargo, el procedimiento empleado por Newton para deducir la fórmula de la aceleración normal tiene la ventaja de ser mucho más fácil de entender.

La deducción de la fórmula de la aceleración normal se basa en el análisis de la trayectoria poligonal que sigue una partícula que choca contra una superficie cilíndrica. Esta deducción no debe tomarse de forma rigurosa sino como un ejercicio de importancia histórica.

Procedimiento de Newton

Como veremos en esta deducción, lo importante es el cambio en la dirección de la velocidad, no la causa que produce este cambio, ya sea el choque con la superficie rígida, la acción de la gravedad, etc.

Consideremos una partícula que se mueve en línea recta con velocidad constante v y que choca contra una superficie rígida. Como vemos en la figura, la componente de la velocidad v que es perpendicular a la superficie v·cosθ  cambia de sentido en el momento del impacto. Sin embargo, la componente que es paralela a la superficie v·senθ  no cambia durante el impacto.

El cambio de velocidad que experimenta la partícula en el choque contra la superficie rígida es

Δv=2vcosθ

Supongamos ahora que la superficie rígida adopta la forma cilíndrica de radio r.

 

 

El cambio de velocidad en cada impacto Δv, es la diferencia entre la velocidad final v’ (en color azul) y la velocidad inicial v (en color rojo). La dirección de dicho cambio de velocidad Δv es radial y apunta hacia el centro de la trayectoria que describe la partícula. Su módulo vale

${\displaystyle \Delta v=2v\cos \theta =2v\cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\phi }{2}\right)=2v\text{sin}\left(\frac{\phi }{2}\right)}$

Esta misma expresión se puede deducir en el diagrama de velocidades, calculando el lado Δv del triángulo isósceles de vértice ø que forman los vectores velocidad antes y después del impacto.

La aceleración media para n impactos

La velocidad de la partícula es constante en los tramos rectos y por tanto, la aceleración es nula. Cuando choca con la superficie rígida la partícula cambia bruscamente la dirección de su velocidad aunque no su módulo y la aceleración en el instante del impacto es infinita. La aceleración media como veremos nos conduce a la fórmula de la aceleración normal.

Después de n impactos contra la superficie rígida, la partícula describe una trayectoria que es un polígono regular de n lados. Teniendo en cuenta que el ángulo ø =2π/n. El cambio total de velocidad que experimenta la partícula tras n impactos es

${\displaystyle {\displaystyle \sum \Delta v}=2nv\cos \theta =2nv\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)}$

Calculamos ahora el tiempo que tarda la partícula en describir la trayectoria, un polígono regular de n lados.

En el triángulo isósceles formado por un lado y dos radios, calculamos el valor del lado, conociendo el ángulo ø del vértice. La longitud del perímetro del polígono regular es

${\displaystyle l=n·2r·\sin \left(\frac{\phi }{2}\right)=2nr·\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)}$

La partícula en cada impacto cambia la dirección de su velocidad pero no cambia su módulo. Por tanto, el tiempo que invierte en recorrer la trayectoria poligonal es P=l/v

El valor medio del módulo de la aceleración es

${\displaystyle <a>=\frac{{\displaystyle \sum \Delta v}}{P}=\frac{v^2}{r}}$

La aceleración media para infinitos impactos

El cambio total de velocidad que experimenta la partícula tras n impactos es

${\displaystyle {\displaystyle \sum \Delta v}=2nv\cos \theta =2nv\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)}$

Cuando n es muy grande (tiende a infinito) el ángulo φ> es muy pequeño y podemos sustituir el seno por el ángulo. De modo que, el cambio total de velocidad que experimenta la partícula es

${\displaystyle {\displaystyle \sum \Delta v}=2\pi v}$

Cuando n es muy grande (tiende a infinito) el perímetro del polígono regular (trayectoria) que describe la partícula se aproxima a  una circunferencia de radio r.

Como el módulo de la velocidad de la partícula v no cambia en los impactos con la pared rígida, el tiempo P que tarda en describir la circunferencia es

${\displaystyle P=\frac{2\pi r}{v}}$

El módulo de la aceleración media es

${\displaystyle <a>=\frac{{\displaystyle \sum \Delta v}}{P}=\frac{v^2}{r}}$

Dada la simetría de la trayectoria circular, la aceleración media es la aceleración de la partícula en cada instante

${\displaystyle a=\frac{v^2}{r}}$

Actividades

Se introduce

• El radio de la pared rígida circular en el control de edición titulado Radio
• La velocidad de la partícula en el control de edición titulado Velocidad

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Vemos tres impactos de la partícula con la pared rígida. La partícula describe una trayectoria en forma de triángulo equilátero

Pulsando el botón titulado Siguiente, la partícula describe trayectorias que son polígonos regulares de n=4, 6, 10, 12...  lados

El programa calcula:

• El tiempo que tarda la partícula en describir la trayectoria poligonal
• El cambio de velocidad en cada impacto
• El cambio de velocidad en los n impactos con la pared rígida
• La aceleración media <a>

También se representa en cada uno de los impactos los vectores velocidad inicial, velocidad final y el cambio de velocidad, mediante flechas de color rojo, azul y negro. Podemos observar que la dirección del vector Δv es radial y dirigido hacia el centro.

Referencias

Newton I., Conn R. Circular motion. Am. J. Phys. 68 (7) July 2000, pp. 637-639

Leff H. Acceleration for circular motion. Am. J. Phys. 70 (5) May 2002. pp. 490-492

Ninio F. Acceleration in uniform circular motion. Am. J. Phys. 61 (11) November 1993, pp. 1052

Brownstein K. R. A simple derivation of centripetal acceleration. Am. J. Phys. 62 (10) October 1994, pp. 946

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