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Es interesante explorar otras deducciones alternativas de las fórmula de la aceleración normal.  En este caso, se presenta una deducción que tiene la ventaja de que se puede extender a movimientos circulares no uniformes. Estas deducciones se pueden comparar con las realizada en las página titulada "Relación entre las magnitudes angulares y lineales"

Movimiento circular uniforme. Aceleración normal

Consideremos que una partícula describe un movimiento circular de radio r con velocidad constante v.

La partícula se encuentra en la posición A en el instante t-Δt/2, y su velocidad (tangente a la trayectoria) es v₁. La partícula se encuentra en la posición simétrica B en el instante t+Δt/2 y su velocidad es v₂.

Coloquemos los dos vectores velocidad v₁ y v₂ que tienen la misma longitud v con vértice en el punto P y calculamos las componentes radial o normal y tangencial del vector diferencia Δv=v₂-v₁.

• Componente normal

${\displaystyle {\left(\Delta v\right)}_n=v_2\sin \phi -v_1\sin (-\phi )=2v\sin \phi }$

• Componente tangencial

${\displaystyle {\left(\Delta v\right)}_t=v_2\cos \phi -v_1\cos (-\phi )=0}$

Por tanto el vector Δv es paralelo a la dirección radial PO, y está dirigido hacia el centro O.

Como la partícula recorre el arco AB de ángulo 2ø con velocidad v constante.

${\displaystyle v=\frac{2r\phi }{\Delta t}}$

El valor medio de la componente normal de la aceleración es por tanto,

${\displaystyle \begin{array}{l}<a_{\text{n}}>=\frac{{\left(\Delta v\right)}_{\text{n}}}{\Delta \text{t}}=\frac{2v\sin \phi }{\left(2r\phi /v\right)}=\left(\frac{\sin \phi }{\phi }\right)\frac{v^2}{r}\\ <a_t>=\frac{{\left(\Delta v\right)}_{\text{t}}}{\Delta \text{t}}=0\end{array}}$

La componente normal de la aceleración instantánea es el límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo Δt→ 0, o bien, cuando ø → 0. En este límite,

${\displaystyle \underset{\phi \to 0}{\lim }\frac{\sin \phi }{\phi }=1}$

por tanto, la componente normal de la aceleración en el instante t o en el punto P es

${\displaystyle a_{\text{n}}=\frac{v^2}{r}}$

Naturalmente, la componente tangencial de la aceleración es cero en dicho instante, a_t=0.

Movimiento circular no uniforme. Aceleración tangencial y normal

Supongamos que la partícula pasa por el punto A en el instante t-Δt₁ y lleva una velocidad v₁ (tangente a la trayectoria), y pasa por el punto simétrico B en el instante t-Δt₂ llevando una velocidad v₂. Como el movimiento no es uniforme los módulos de las velocidades serán diferentes.

Calculamos las componentes radial o normal y tangencial del vector diferencia Δv=v₂-v₁.

• Componente normal

${\displaystyle {\left(\Delta v\right)}_n=v_2\sin \phi -v_1\sin (-\phi )=(v_2+v_1)\sin \phi }$

• Componente tangencial

${\displaystyle {\left(\Delta v\right)}_t=v_2\cos \phi -v_1\cos (-\phi )=(v_2-v_1)\cos \phi }$

Al no ser los vectores velocidad de igual módulo, el vector diferencia Δv y por tanto la aceleración no tienen en general, dirección radial.

La partícula recorre el arco AB de ángulo 2ø empleando un tiempo Δt=Δt₁+ Δt₂. La velocidad media <v> de la partícula en este intervalo de tiempo es

${\displaystyle <v>=\frac{2r\phi }{\Delta t}}$

La componente normal y tangencial de la aceleración serán por tanto,

${\displaystyle \begin{array}{l}<a_n>=\frac{{\left(\Delta v\right)}_n}{\Delta t}=\left(\frac{\sin \phi }{\phi }\right)\frac{<v>\left(v_1+v_2\right)}{2r}\\ <a_t>=\frac{{\left(\Delta v\right)}_t}{\Delta t}=\frac{v_2-v_1}{\Delta t}\text{cos}\phi \end{array}}$

En el límite cuando el intervalo de tiempo Δt → 0, o bien cuando ø → 0, se cumple que,

${\displaystyle \underset{\phi \to 0}{\lim }\frac{\sin \phi }{\phi }=1\underset{\phi \to 0}{\lim }\cos \phi =1}$

La velocidad media <v>→ v es la velocidad en el instante t cuando el móvil pasa por P, y también la velocidad promedio

${\displaystyle \underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{v_1+v_2}{2}=v}$

De este modo, obtenemos la misma fórmula de la componente normal de la aceleración que en el apartado anterior.

En cuanto a la componente tangencial, el numerador es un cambio infinitesimal en el módulo de la velocidad dv y el denominador es el tiempo dt que tarda la partícula en efectuar dicho cambio.

Las componentes de la aceleración serán, por tanto,

${\displaystyle a_n=\frac{v^2}{r}{a}_t=\frac{dv}{dt}}$

Deducción de las fórmulas de la aceleración tangencial y normal

En la figura, la partícula se encuentra en el instante t en el punto P, formando un ángulo θ con el eje X.

El vector posición r de la partícula es

r=xi+yj=r·cosθ i+r·sinθ j

El vector velocidad v se obtiene derivando el vector posición respecto del tiempo

${\displaystyle v=\frac{dr}{dt}=r\omega \left(-\sin \theta \widehat{i}+\cos \theta \widehat{j}\right)=r\omega \widehat{v}\omega =\frac{d\theta }{dt}}$

El vector aceleración se obtiene derivando el vector velocidad

${\displaystyle \begin{array}{l}a=\frac{dv}{dt}={\omega }^{2}r\left(-\cos \theta \widehat{i}-\sin \theta \widehat{j}\right)+r\alpha \left(-\sin \theta \widehat{i}+\cos \theta \widehat{j}\right)\alpha =\frac{d\omega }{dt}\\ a=\left(-{\omega }^{2}r\right)\widehat{r}+\left(\alpha r\right)\widehat{v}\end{array}}$

El vector aceleración tiene dos componentes, que podemos expresar en virtud de las relaciones entre magnitudes angulares y lineales de dos formas.

La componente radial está dirigida hacia le centro de la circunferencia

${\displaystyle a_n={\omega }^{2}r=\frac{v^2}{r}}$

La componente tangencial tiene la dirección de la velocidad, tangente a la trayectoria

${\displaystyle a_t=\alpha r=\frac{dv}{dt}}$

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García