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Es interesante explorar otras deducciones alternativas de las fórmula de la aceleración normal.  En este caso, se presenta una deducción que tiene la ventaja de que se puede extender a movimientos circulares no uniformes. Estas deducciones se pueden comparar con las realizada en las página titulada "Relación entre las magnitudes angulares y lineales"

Movimiento circular uniforme. Aceleración normal

Consideremos que una partícula describe un movimiento circular de radio r con velocidad constante v.

acel_normal3.gif (3683 bytes)

La partícula se encuentra en la posición A en el instante tt/2, y su velocidad (tangente a la trayectoria) es v1. La partícula se encuentra en la posición simétrica B en el instante t+Δt/2 y su velocidad es v2.

Coloquemos los dos vectores velocidad v1 y v2 que tienen la misma longitud v con vértice en el punto P y calculamos las componentes radial o normal y tangencial del vector diferencia Δv=v2-v1.

( Δv ) n = v 2 sinφ v 1 sin(φ)=2vsinφ

( Δv ) t = v 2 cosφ v 1 cos(φ)=0

Por tanto el vector Δv es paralelo a la dirección radial PO, y está dirigido hacia el centro O.

Como la partícula recorre el arco AB de ángulo 2ø con velocidad v constante.

v= 2rφ Δt

El valor medio de la componente normal de la aceleración es por tanto,

< a n >= ( Δv ) n Δt = 2vsinφ ( 2rφ/v ) =( sinφ φ ) v 2 r < a t >= ( Δv ) t Δt =0

La componente normal de la aceleración instantánea es el límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo Δt 0, o bien, cuando ø → 0. En este límite,

lim φ0 sinφ φ =1

por tanto, la componente normal de la aceleración en el instante t o en el punto P es

a n = v 2 r

Naturalmente, la componente tangencial de la aceleración es cero en dicho instante, at=0.

Movimiento circular no uniforme. Aceleración tangencial y normal

Supongamos que la partícula pasa por el punto A en el instante tt1 y lleva una velocidad v1 (tangente a la trayectoria), y pasa por el punto simétrico B en el instante tt2 llevando una velocidad v2. Como el movimiento no es uniforme los módulos de las velocidades serán diferentes.

Calculamos las componentes radial o normal y tangencial del vector diferencia Δv=v2-v1.

( Δv ) n = v 2 sinφ v 1 sin(φ)=( v 2 + v 1 )sinφ

( Δv ) t = v 2 cosφ v 1 cos(φ)=( v 2 v 1 )cosφ

Al no ser los vectores velocidad de igual módulo, el vector diferencia Δv y por tanto la aceleración no tienen en general, dirección radial.

La partícula recorre el arco AB de ángulo 2ø empleando un tiempo Δtt1+ Δt2. La velocidad media <v> de la partícula en este intervalo de tiempo es

<v>= 2rφ Δt

La componente normal y tangencial de la aceleración serán por tanto,

< a n >= ( Δv ) n Δt =( sinφ φ ) <v>( v 1 + v 2 ) 2r < a t >= ( Δv ) t Δt = v 2 v 1 Δt cosφ

En el límite cuando el intervalo de tiempo Δt → 0, o bien cuando ø → 0, se cumple que,

lim φ0 sinφ φ =1 lim φ0 cosφ=1

La velocidad media <v> v es la velocidad en el instante t cuando el móvil pasa por P, y también la velocidad promedio

lim Δt0 v 1 + v 2 2 =v

De este modo, obtenemos la misma fórmula de la componente normal de la aceleración que en el apartado anterior.

En cuanto a la componente tangencial, el numerador es un cambio infinitesimal en el módulo de la velocidad dv y el denominador es el tiempo dt que tarda la partícula en efectuar dicho cambio.

Las componentes de la aceleración serán, por tanto,

a n = v 2 r a t = dv dt

Deducción de las fórmulas de la aceleración tangencial y normal

En la figura, la partícula se encuentra en el instante t en el punto P, formando un ángulo θ con el eje X.

El vector posición r de la partícula es

r=xi+yj=cosθ i+sinθ j

El vector velocidad v se obtiene derivando el vector posición respecto del tiempo

v= dr dt =rω( sinθ i ^ +cosθ j ^   )=rω v ^ ω= dθ dt

El vector aceleración se obtiene derivando el vector velocidad

a= dv dt = ω 2 r( cosθ i ^ sinθ j ^ )+rα( sinθ i ^ +cosθ j ^ )α= dω dt a=( ω 2 r ) r ^ +( αr ) v ^

El vector aceleración tiene dos componentes, que podemos expresar en virtud de las relaciones entre magnitudes angulares y lineales de dos formas.

La componente radial está dirigida hacia le centro de la circunferencia

a n = ω 2 r= v 2 r

La componente tangencial tiene la dirección de la velocidad, tangente a la trayectoria

a t =αr= dv dt

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