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Alcance máximo en el plano horizontal

Hemos demostrado que el alcance máximo se obtiene para el ángulo de tiro de 45º, cuando el cañón y el blanco están  en una superficie horizontal.

En esta página, vamos a estudiar el movimiento de un proyectil que se dispara desde una altura h sobre una superficie horizontal, y a calcular el ángulo de tiro para el cual el alcance es máximo.

Este ejemplo, nos permiten estudiar en detalle la trayectoria parabólica y practicar con funciones trigonométricas seno, coseno y tangente.

Se dispara un proyectil desde una cierta altura sobre el suelo

Se dispara un proyectil desde una altura h sobre un plano horizontal con velocidad inicial v0, haciendo un ángulo θ con la horizontal. Para describir el movimiento establecemos un sistema de referencia como se indica en la figura.

Las componentes de la velocidad del proyectil en función del tiempo son:

vx=v0·cosθ
vy=v0·
sinθ-g·t

La posición del proyectil en función del tiempo es

x= v0·cosθ·t
y= h+v0·
sinθ·t-g·t2/2

Estas son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, ya que dado el tiempo t, se obtiene la posición x e y del proyectil.

El tiempo de vuelo T se obtiene poniendo y=0 en la segunda ecuación y despejando el tiempo t.

T= v 0 g ( sinθ+ sin 2 θ+2z )z= gh v 0 2

El proyectil llega al punto de impacto en el instante t=T. Sustituyendo t en la primera ecuación obtenemos el alcance, o distancia horizontal entre el origen y el punto de impacto, R.

R= v 0 2 g ( sinθ+ sin 2 θ+2z )cosθz= gh v 0 2

En la figura, se representa el alcance R en función del ángulo de tiro θ.

La componente vy de la velocidad cuando el cuerpo llega al suelo es

v y = v 0 sinθgT= v 0 sin 2 θ+2z

La velocidad final vf del proyectil cuando llega al suelo y el ángulo que forma con la horizontal (véase la primera figura) es

v f = v x 2 + v y 2 = v 0 1+2z tanϕ= v y v x = sin 2 θ+2z cosθ

El módulo de la velocidad final vf se puede calcular también, aplicando el principio de conservación de la energía.

1 2 m v 0 2 +mgh= 1 2 m v f 2

Alcance máximo

Derivando R con respecto del ángulo de tiro θ e igualando a cero obtenemos el ángulo de tiro θm para el cual el alcance es máximo.

( cosθ+ 2sinθcosθ 2 sin 2 θ+2z )cosθ( sinθ+ sin 2 θ+2z )sinθ=0 ( cos 2 θ sin 2 θ )( sinθ+ sin 2 θ+2z )=2zsinθ sin 2 θ+2z = 2zsinθ cos(2θ) sinθ

Elevamos al cuadrado y simplificamos

( 12· sin 2 θ ) 2 =2z· sin 2 θ2· sin 2 θ( 12· sin 2 θ )

cos 2 θ= 1+2z 2+2z sin 2 θ= 1 2+2z

El ángulo θm para el cual el alcance R es máximo vale

tan θ m = 1 1+2z = v 0 v 0 2 +2gh

Sustituyendo cosθ y sinθ  en función del parámetro z, en la expresión del alcance R, se obtiene después de algunas operaciones

R m = v 0 2 g 1+2z = v 0 g v 0 2 +2gh

Otra forma de expresar el alcance máximo Rm es

R m = v 0 2 g·tan θ m

Teniendo en cuenta la relación trigonométrica

R m = v 0 2 g·tan θ m

llegamos a esta expresión tan simple para el alcance máximo

Rm=h·tan(2θm)

El tiempo de vuelo Tm para el ángulo θm

T m = v 0 g 2+2z = 2( v 0 2 +2gh) g

El alcance máximo sin cálculo de derivadas

Una forma alternativa de calcular el ángulo θm, sin tener que realizar un cálculo de derivadas es el siguiente:

Eliminamos el tiempo t, en de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, llegamos a la ecuación de la parábola (recuérdese que 1/cos2θ=1+tan2θ)

y=xtanθ g x 2 2 v 0 2 (1+ tan 2 θ)

En el punto de impacto con el suelo y=0, obtenemos la ecuación de segundo grado en tanθ

g R 2 2 v 0 2 tan 2 θR·tanθ+( g R 2 2 v 0 2 h )=0

con dos soluciones para R<Rm, y una solución para R=Rm y ninguna para R>Rm,véase la figura.

Esto implica que el discriminante de la ecuación de segundo grado debe ser cero para el ángulo θm  que hace que el alcance sea máximo

R m 2 4 g R m 2 2 v 0 2 ( g R m 2 2 v 0 2 h )=0 R m = v 0 g 2gh+ v 0 2

El mismo resultado que ya obtuvimos de una forma más laboriosa.

Velocidad final y velocidad inicial

La velocidad final y el ángulo que forma con el eje X son

v f = v 0 1+2z tan ϕ m = sin 2 θ+2z cosθ = 1+2z

La relación entre el ángulo de disparo θm y el ángulo φm que forma el vector velocidad cuando el proyectil llega al suelo es

tan ϕ m = 1 tan θ m θ m = ϕ m + π 2

El vector velocidad inicial v0 y el vector velocidad final vf son perpendiculares,

Ejemplo:

El alcance R es

z= 9.8·200 60 2 =0.54R= 60 2 9.8 ( sin30º+ sin 2 30º+2·0.54 )cos30º=527.2m

El tiempo T de vuelo del proyectil es

T= 60 9.8 ( sin30º+ sin 2 30º+2·0.54 ) =10.1s

tan θ m = 1 1+2·0.54 θ m =34.7º

El alcance y el tiempo de vuelo para este ángulo son, respectivamente

R m = 60 2 9.8 1+2·0.54 =530.9   m T m = 60 9.8 2+2·0.54 =10.8   s

Podemos calcular los dos ángulos de tiro que producen el mismo alcance R<Rm, por ejemplo un alcance de R=450 m. Calculamos las raíces de la ecuación de segundo grado en tanθ

9.8· 450 2 2· 60 2 tan 2 θ450·tanθ+( 9.8· 450 2 2· 60 2 200 )=0

θ1=10.8º, θ2=55.3º,  Como vemos θ1m2

Supongamos que un atleta lanza un peso desde una altura h con una velocidad v0, haciendo un ángulo θ con la horizontal.

Si el atleta lanza el peso desde una altura de h=2.1 m y quiere que llegue a una distancia Rm=22 m, el ángulo óptimo de lanzamiento θm vale

Rm=h·tan(2θm)     θm=42.3º

El análisis del lanzamiento del peso es más complicado, ya que la altura h no es independiente del ángulo θ, tal como se aprecia en la figura, sino que h=H+b·sinθ, siendo H la altura del hombro y b la longitud del brazo. (Véase De Luca 2005)

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Empieza

Observamos la trayectoria del proyectil hasta que llega al suelo. En la parte superior del applet, se proporcionan los datos del proyectil:

Cuando llega al suelo, podemos anotar el alcance x, el tiempo de vuelo t y la velocidad final del proyectil vx y vy, y comprobar estos resultados con los cálculos realizados manualmente.

El programa interactivo representa, la trayectoria actual del proyectil y su trayectoria anterior. Fijada la altura h, vamos cambiando el ángulo de tiro θ. Mediante el procedimiento de aproximaciones sucesivas, podemos obtener el ángulo para el cual el alcance es máximo.

CinemaApplet2 aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.
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