La integral definida

Integral definida

Dada la velocidad del móvil en función del tiempo, vamos a calcular el desplazamiento del móvil entre los instantes t₀ y t. En los casos en los que la velocidad es constante o varía linealmente con el tiempo, el desplazamiento se calcula fácilmente

Si v=35 m/s, el desplazamiento del móvil entre los instantes t₀=0 y t=10 s es Δx=35·10=350 m

Si v=6·t, el desplazamiento del móvil entre los instantes t₀=0 y t=10 s es el área del triángulo de color azul claro Δx=(60·10)/2=300 m

Si v=-8·t+60. el desplazamiento del móvil entre los instantes t₀=0 y t=10 s es la suma de las áreas de dos triángulos:

el de la izquierda tiene un área de (7.5·60)/2=225
el de la derecha tiene un área de (-20·2.5)/2=-25.

El desplazamiento es el área total Δx=225+(-25)=200 m

En otros casos, podemos calcular el desplazamiento aproximado, siguiendo el procedimiento que se muestra en la figura

En el instante t_i-1 la velocidad del móvil es v_i-1, en el instante t_i la velocidad del móvil es v_i. La velocidad media <v_i> en el intervalo de tiempo Δt_i=t_i-t_i-₁ comprendido entre t_i-1 y t_i es

$< v_{i} > = \frac{v (t_{i}) + v (t_{i - 1})}{2}$

El desplazamiento del móvil durante el intervalo de tiempo Δt_i=t_i-t_i-₁ comprendido entre t_i-1 y t_i es aproximadamente el área del rectángulo <v_i>·Δt_i. El desplazamiento total x-x₀ entre el instante inicial t₀, y el instante final t=t_n es, aproximadamente

$x - x_{0} \approx \sum_{i = 1}^{n} < v_{i} > Δ t_{i}$

donde n es el número de intervalos

Si v=-t²+14t+21 (m/s) y tomamos n=10 intervalos iguales, entre el instante t₀=0 y t=10 s el desplazamiento aproximado vale

x-x₀≈27.7+39.8+49.8+57.7+63.7+67.7+69.7+69.8+67.8+63.8=577.5 m

Cuando el número de intervalos en los que se ha dividido un intervalo dado (t₀, t) es muy grande Δt_i→0. En el límite, el desplazamiento se expresa como

$x - x_{0} = \int_{t_{0}}^{t} v \cdot d t$

Si v=-t²+14t+21 (m/s), el desplazamiento entre el instante t₀=0 y t=10 s vale

$x - x_{0} = \int_{0}^{10} (- t^{2} + 14 t + 21) \cdot d t = {- \frac{t^{3}}{3} + 7 t^{2} + 21 t |}_{0}^{10} = \frac{1730}{3} m$

Actividades

Se elige la función a representar en el control de selección titulado Función, entre las siguientes:

v=-t²+14t+21
v=-8t+60
v=35
v=2t²-12t-12

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se arrastra el puntero del ratón el pequeño cuadrado de color azul, y se pulsa el botón titulado Área.

Se arrastra hacia la derecha el el pequeño cuadrado de color azul, y se vuelve a pulsar el botón titulado Área y así sucesivamente, hasta un máximo de 15 veces.

Se representa y se calcula el área <v_i>·Δt_ide cada rectángulo que se suma al área calculada previamente.

Mueva con el puntero del ratón el pequeño cuadrado de color azul y pulse el botón titulado Área