• Inicio
• Cinemática
• Movimiento relativo

El péndulo esférico visto desde el Sistema de Referencia NO Inercial

Un péndulo esférico es la composición de dos MAS de la misma frecuencia angular ω_p pero de direcciones perpendiculares desfasados 90º.

${\displaystyle \begin{array}{l}x=A\cos ({\omega }_{p}t)\\ y=A\sin ({\omega }_{p}t)\end{array}}$

Eliminando el tiempo t en las dos ecuaciones paramétricas, obtenemos la ecuación de la trayectoria de la partícula en el Sistema de Referencia Inercial, una elipse de semiejes A y B, tal como se ve en la figura.

${\displaystyle \frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}=1}$

En un instante t la partícula dista r del origen y hace un ángulo θ con el eje X. La posición de la partícula en el Sistema de Referencia Inercial es

${\displaystyle \begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{array}}$

La posición de la partícula el Sistema de Referencia No Inercial es

${\displaystyle \begin{array}{l}x\text{'}=r\cos (\theta +\omega t)=x\cos (\omega t)-y\sin (\omega t)\\ y\text{'}=r\sin (\theta +\omega t)=x\sin (\omega t)+y\cos (\omega t)\end{array}}$

Las ecuaciones paramétricas del movimiento del péndulo esférico visto desde el Sistema de Referencia No Inercial son:

${\displaystyle \begin{array}{l}x\text{'}=A\cos ({\omega }_{p}t)\cos (\omega t)-B\sin ({\omega }_{p}t)\sin (\omega t)\\ y\text{'}=A\cos ({\omega }_{p}t)\sin (\omega t)+B\sin ({\omega }_{p}t)\cos (\omega t)\end{array}}$

1. Cuando B=0, el péndulo describe un MAS a lo largo del eje X

${\displaystyle \begin{array}{l}x\text{'}=A\cos (\omega t)\cos (\omega t)=\frac{A}{2}\left(1+\cos (2\omega t)\right)\\ y\text{'}=A\cos (\omega t)\sin (\omega t)=\frac{A}{2}\sin (2\omega t)\end{array}}$

Eliminamos el tiempo t de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria y obtenemos la ecuación de una circunferencia centrada en el punto (A/2, 0) y de radio A/2.

2. Cuando A=B, el péndulo describe una trayectoria circular

${\displaystyle \begin{array}{l}x\text{'}=A\cos (\omega t)\cos (\omega t)-A\sin (\omega t)\sin (\omega t)=A\cos (2\omega t)\\ y\text{'}=A\cos (\omega t)\sin (\omega t)+A\sin (\omega t)\cos (\omega t)=A\sin (2\omega t)\end{array}}$

El péndulo describe una trayectoria circular centrada en el origen de frecuencia 2ω

3. Cuando A=B y ω_p=-ω, el péndulo describe una trayectoria circular

${\displaystyle \begin{array}{l}x\text{'}=A\cos (\omega t)\cos (\omega t)+A\sin (\omega t)\sin (\omega t)=A\\ y\text{'}=A\cos (\omega t)\sin (\omega t)-A\sin (\omega t)\cos (\omega t)=0\end{array}}$

La trayectoria es el punto fijo (A, 0)

4. Cuando A≠B, el péndulo describe una trayectoria elíptica

${\displaystyle \begin{array}{l}x\text{'}=A\cos (\omega t)\cos (\omega t)-B\sin (\omega t)\sin (\omega t)=A-(A+B){\sin }^2(\omega t)=\frac{A-B}{2}+\frac{A+B}{2}\cos (2\omega t)\\ y\text{'}=A\cos (\omega t)\sin (\omega t)+B\sin (\omega t)\cos (\omega t)=\frac{A+B}{2}\sin (2\omega t)\end{array}}$

Eliminamos el tiempo t de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria y obtenemos la ecuación de una circunferencia de radio (A+B)/2 centrada en el punto ((A-B)/2, 0)

Actividades

Se introduce

• La velocidad angular ω de rotación, un número entero, en el control de edición titulado Velocidad angular
• La frecuencia angular ω_p del MAS, un número entero, en el control de edición titulado Frecuencia angular
• La relación de las amplitudes B/A de los dos MAS de direcciones perpendiculares, se elige en el control de selección titulado Amplitud (B/A)

Se pulsa el botón titulado Empieza.

Como ejemplo interesante, se sugiere aquel en el que a la frecuencia angular del MAS es igual a la velocidad angular de rotación de la plataforma, ω_p=±ω.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Daw H. A., Coriolis lecture demostration. Am. J. Phys. 55 (11) November 1987, pp. 1010-101

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García