La caja de potencial

La cuantización de la energía es uno de los conceptos más importantes de la Mecánica Cuántica, ya que explica las propiedades de los átomos que constituyen los componentes básicos de la materia.

Para calcular los niveles de energía, es necesario resolver una ecuación diferencial de segundo orden, la ecuación de Schrödinger para la función potencial especificada, que en muchos casos carece de solución analítica sencilla. Por simplicidad, elegiremos como modelos de átomo, primero una caja de potencial y después un pozo de potencial.

La caja de potencial

Consideremos una partícula obligada a moverse en una región entre x=0 y x=a, tal como una molécula en una caja, un electrón libre en un trozo de metal, etc. Si la energía cinética del electrón es pequeña comparada con la altura de la barrera de potencial, el electrón se podrá mover libremente a través del metal pero no podrá escapar de él.

Pozo3.gif (1229 bytes) Podemos representar estas situaciones físicas, por un potencial rectangular de altura infinita. Tenemos que E_p(x)=0 para 0<x<a, ya que la partícula se mueve libremente en esta región, y fuera de esta región la energía potencial se hace infinita. Entonces, cualquiera que sea el valor de le energía E de la partícula, ésta no puede estar a la izquierda de x=0, ni a la derecha de x=a. La función de onda en dichas regiones debe de ser nula.

La ecuación de Schrödinger en la región 0<x<a donde E_p(x)=0 se escribe

$\frac{d^{2} Ψ}{d x^{2}} + \frac{2 m E}{ℏ^{2}} Ψ = 0$

Su solución ya se ha proporcionado al estudiar el escalón de potencial.

$Ψ (x) = A e^{i k x} + B e^{- i k x} k^{2} = \frac{2 m E}{ℏ^{2}}$

Las condiciones de contorno requieren que Ψ(x)=0 en x=0, obtenemos

Ψ(x)=2iA·sin(kx)

y también, que Ψ(x)=0 en x=a. Como A no puede ser cero, tenemos entonces,

sin(ka)=0 por lo que ka=nπ donde n es un número entero.

La energía de la partícula será

$E = \frac{n^{2} π^{2} ℏ^{2}}{2 m a^{2}}$

Si E₁ es la energía del primer nivel (n=1) la energía de los sucesivos niveles es 4E₁, 9E₁, 16E₁... Concluimos que la partícula no puede tener una energía arbitraria, sino valores concretos, decimos que la energía de la partícula está cuantizada.

Las funciones de onda se parecen a los modos de vibración de una cuerda tensa, sujeta por ambos extremos o también denominadas ondas estacionarias. Observaremos, que el modo fundamental no tiene nodos (no corta al eje horizontal). El segundo armónico, tiene un nodo (corta una vez al eje horizontal), el tercero tiene dos nodos, y así sucesivamente. Podemos saber el orden del nivel de energía contando el número de veces que la función de onda corta al eje horizontal.

Actividades

Se introduce

la anchura de la caja de potencial, en el control de edición titulado Anchura

la masa de la partícula, en el control de edición titulado Energía

Se pulsa en el botón Gráfica para ver los primeros niveles de energía y sus correspondientes funciones de onda.

Cuando los niveles de energía están muy juntos las funciones de onda correspondientes a cada nivel se superponen. Desactivar entonces, la casilla Ver funciones de onda, y solamente se verán los niveles de energía.

Como se puede observar, las funciones de onda son semejantes a los modos de vibración de una cuerda tensa sujeta por ambos extremos.