Medida de la velocidad de una bala mediante la deformación de un muelle

Para medir la velocidad de una bala hemos se emplea un péndulo balístico. En esta página, se plantea una alternativa, que consiste en medir la máxima deformación que experimenta un muelle, cuando una bala choca con un bloque unido al muelle elástico. Estudiaremos el movimiento del conjunto formado por el bloque y la bala después del choque, suponiendo que el bloque no está sujeto al muelle.

En el capítulo oscilaciones, supondremos que el bloque está sujeto al muelle y estudiaremos las oscilaciones amortiguadas por una fuerza de rozamiento constante en módulo.

Choque de la bala y el bloque

Consideramos que el sistema formado por la bala y el bloque es aislado en el momento del choque, por lo que aplicamos el principio de conservación del momento lineal para obtener la velocidad v₀ inmediatamente después del choque del sistema formado por el bloque y la bala que se incrustado en él.

Si M es la masa del bloque, m la masa de la bala y u su velocidad, dicho principio se escribe

mu=(m+M)v₀

La energía perdida en el choque es

$Q = \frac{1}{2} (m + M) v_{0}^{2} - \frac{1}{2} m u^{2} = - (\frac{M}{m + M}) (\frac{1}{2} m u^{2})$

Estudio energético del sistema después del choque

Supondremos que entre el bloque y el plano horizontal sobre el que desliza hay rozamiento cuyo coeficiente estático es μ_s y dinámico μ_k.

La energía cinética del cuerpo de masa (m+M) formado por la bala y el bloque, después del choque se trasforma en trabajo de la fuerza de rozamiento y en energía potencial del muelle deformado.

Las fuerzas que actúan sobre dicho cuerpo son:

El peso (m+M)g
La reacción del plano N=(m+M)g
La fuerza que ejerce el muelle deformado x, k·x
La fuerza de rozamiento, de sentido contrario a la velocidad del bloque, f_r=μ_k·N= μ_k·(m+M)g

Movimiento del cuerpo hacia la derecha

El trabajo de la fuerza de rozamiento es igual a la diferencia entre la energía final y la energía inicial del sistema

$- f_{r} \cdot x = (\frac{1}{2} (M + m) v^{2} + \frac{1}{2} k x^{2}) - \frac{1}{2} (M + m) v_{0}^{2}$

La máxima deformación del muelle x_m se produce cuando v=0.

$- μ_{k} (M + m) g \cdot x_{m} = \frac{1}{2} k x_{m}^{2} - \frac{1}{2} \frac{m^{2} u^{2}}{(M + m)}$

Midiendo x_m despejamos la velocidad u de la bala antes del choque

Si conocemos la velocidad u de la bala antes del choque, resolvemos la ecuación de segundo grado en x_m y tomamos la raíz positiva.

Si definimos el parámetro ω²=k/(m+M), Para calcular x_m resolvemos la ecuación de segundo grado

$\begin{array}{l} ω^{2} x_{m} + 2 μ_{k} g \cdot x_{m} - v_{0}^{2} = 0 \\ x_{m} = \frac{- μ_{k} g + \sqrt{μ_{k}^{2} g^{2} + v_{0}^{2} ω^{2}}}{ω^{2}} \end{array}$

El móvil parte de x_m con velocidad inicial nula siempre que se cumpla que kx_m≥ μ_s(m+M)g, en caso contrario la posición x_m será la posición final del bloque. Supongamos que se cumple la primera condición.

Movimiento del cuerpo hacia la izquierda

El trabajo de la fuerza de rozamiento es igual a la diferencia entre la energía final y la energía inicial del sistema

$- f_{r} \cdot (x_{m} - x) = (\frac{1}{2} (M + m) v^{2} + \frac{1}{2} k x^{2}) - \frac{1}{2} k x_{m}^{2}$

Pueden ocurrir dos casos:

Que el cuerpo se pare antes de llegar al origen x=0 si

$μ_{k} (M + m) g x_{m} > \frac{1}{2} k x_{m}^{2} 2 μ_{k} g > ω^{2} x_{m}$

Calculamos la posición final x_f del cuerpo poniendo v=0.

$\begin{array}{l} - μ_{k} (M + m) g (x_{m} - x_{f}) = \frac{1}{2} k x_{f}^{2} - \frac{1}{2} k x_{m}^{2} \\ ω^{2} x_{m}^{2} - 2 μ_{k} g x_{f} - (ω^{2} x_{m}^{2} - 2 μ_{k} g x_{m}) = 0 \\ x_{f} = \frac{μ_{k} g}{ω^{2}} - x_{m} \end{array}$

Que llegue al origen con velocidad no nula

Calculamos la velocidad v_f, del cuerpo cuando pasa por el origen x=0

$\begin{array}{l} - μ_{k} (M + m) g \cdot x_{m} = \frac{1}{2} (M + m) v_{f}^{2} - \frac{1}{2} k x_{m}^{2} \\ v_{f} = - \sqrt{ω^{2} x_{m}^{2} - 2 μ_{k} g x_{m}} \end{array}$

El bloque deja de estar en contacto con el muelle

Si el bloque no está sujeto al muelle, el cuerpo formado por el bloque y la bala continúan moviéndose hacia la izquierda hasta que la energía cinética se convierte integramente en trabajo de la fuerza de rozamiento

$\begin{array}{l} - μ_{k} (M + m) g \cdot | x | = 0 - \frac{1}{2} (M + m) v_{f}^{2} \\ x = - \frac{v_{f}^{2}}{2 μ_{k} g} \end{array}$

Ejemplo 1:

Coeficiente de rozamiento μ_s=μ_k=0.3
Masa del bloque, M=1 kg
Masa de la bala, m=0.2 kg
Velocidad de la bala, u= 10 m/s
Constante elástica del muelle, k=20 N/m

Choque de la bala y el bloque

La velocidad del cuerpo formado por la bala y el bloque después del choque es

0.2·10=(0.2+1)·v₀, v₀=5/3 m/s

El cuerpo se mueve hacia la derecha

La energía cinética inicial de dicho cuerpo, se convierte en trabajo de la fuerza de rozamiento, y en energía potencial de deformación del muelle

$- 0.3 (1.0 + 0.2) 9.8 \cdot x_{m} = \frac{1}{2} 20 \cdot x_{m}^{2} - \frac{1}{2} (1.0 + 0.2) {(\frac{5}{3})}^{2}$

Despejamos x_m en esta ecuación de segundo grado, x_m=0.268 m=26.8 cm

En esta posición x_m:

La fuerza que ejerce el muelle es k·x_m=5.37 N
La fuerza de rozamiento es μ_s·(M+m)g=0.3·1.2·9.8=3.53 N

El cuerpo se mueve hacia la izquierda

Comprobamos si la energía potencial elástica es suficiente para llevar el cuerpo al origen

$0.3 (1.0 + 0.2) 9.8 \cdot 0.268 > \frac{1}{2} 20 \cdot {0.268}^{2}$

Se para antes de llegar al origen, parte de la energía potencial elástica se convierte en trabajo de la fuerza de rozamiento. Despejamos x_f en la ecuación de segundo grado

$- 0.3 (1.0 + 0.2) 9.8 (0.268 - x_{f}) = \frac{1}{2} 20 x_{f}^{2} - \frac{1}{2} 20 \cdot {0.268}^{2}$

x_f=0.084=8.4 cm

Ejemplo 2:

Coeficiente de rozamiento μ_s=μ_k=0.1
Masa del bloque, M=1 kg
Masa de la bala, m=0.2 kg
Velocidad de la bala, u= 10 m/s
Constante elástica del muelle, k=20 N/m

Choque de la bala y el bloque

La velocidad del cuerpo formado por la bala y el bloque después del choque es

0.2·10=(0.2+1)·v₀, v₀=5/3 m/s

El cuerpo se mueve hacia la derecha

La energía cinética inicial de dicho cuerpo, se convierte en trabajo de la fuerza de rozamiento, y en energía potencial de deformación del muelle

$- 0.1 (1.0 + 0.2) 9.8 \cdot x_{m} = \frac{1}{2} 20 \cdot x_{m}^{2} - \frac{1}{2} (1.0 + 0.2) {(\frac{5}{3})}^{2}$

Despejamos x_m en esta ecuación de segundo grado, x_m=0.354 m=34.5 cm

En esta posición:

La fuerza que ejerce el muelle es k·x_m=7.07 N
La fuerza de rozamiento es μ_s·(M+m)g=0.1·1.2·9.8=1.18 N

El cuerpo se mueve hacia la izquierda

Comprobamos si la energía potencial elástica es suficiente para llevar el cuerpo al origen

$0.1 (1.0 + 0.2) 9.8 \cdot 0.354 < \frac{1}{2} 20 \cdot {0.354}^{2}$

Llega al origen con velocidad no nula, la energía potencial elástica se convierte en trabajo de la fuerza de rozamiento y en energía cinética de dicho cuerpo.

$- 0.1 (1.0 + 0.2) 9.8 \cdot 0.354 = \frac{1}{2} (1.0 + 0.2) v_{f}^{2} - \frac{1}{2} 20 \cdot {0.354}^{2}$

Despejamos v_f =1.18 m/s hacia la izquierda

El bloque deja de estar en contacto con el muelle

El bloque deja de tener contacto con el muelle, y el cuerpo se mueve hacia la izquierda del origen hasta que se para. La energía cinética se convierte integramente en trabajo de la fuerza de rozamiento

$- 0.1 (1.0 + 0.2) 9.8 \cdot | x | = 0 - \frac{1}{2} (1.0 + 0.2) {1.18}^{2}$

|x|=0.710 m, x=-7.10 cm

Ecuaciones del movimiento

Después del choque, la bala y el bloque forman un cuerpo de masa (M+m) que se mueve hacia la derecha con velocidad inicial v₀, bajo la acción de las siguientes fuerzas:

El peso (m+M)g
La reacción del plano N=(m+M)g
La fuerza que ejerce el muelle deformado x, k·x
La fuerza de rozamiento, de sentido contrario a la velocidad del bloque, f_r=μ_k·N= μ_k·(m+M)g

Cuando el bloque se mueve hacia la derecha (v>0), la ecuación del movimiento es

(m+M)a=-kx- μ_k(m+M)g,

Cuando el bloque se mueve hacia la izquierda (v<0), la fuerza de rozamiento cambia de sentido y la ecuación del movimiento es

(m+M)a=-kx+μ_k(m+M)g,

Escribimos las ecuaciones del movimiento en forma de ecuación diferencial

$\begin{array}{l} \frac{d^{2} x}{d t^{2}} + ω^{2} x = - μ_{k} g \frac{d x}{d t} > 0 \\ \frac{d^{2} x}{d t^{2}} + ω^{2} x = μ_{k} g \frac{d x}{d t} < 0 \end{array}$

con ω²=k/(m+M)

Las ecuaciones del movimiento nos recuerdan la ecuación diferencial de un MAS, pero además tiene un término adicional ±μ_kg

La solución de la ecuación diferencial es la suma de la homogénea (la ecuación de un MAS) más una constante C. Introduciendo la solución particular (la constante C) en la ecuación diferencial

ω²C=±μ_kg, C=±μ_kg/ω²

La solución completa de cada una de las ecuaciones diferenciales es

$\begin{array}{l} x = A \sin (ω t) + B \cos (ω t) - \frac{μ_{k} g}{ω^{2}} v > 0 \\ x = A \sin (ω t) + B \cos (ω t) + \frac{μ_{k} g}{ω^{2}} v < 0 \end{array}$

En ambos casos, la velocidad del conjunto bala-bloque es

$v = \frac{d x}{d t} = A ω \cos (ω t) - B ω \sin (ω t)$

Los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales

El cuerpo se mueve hacia la derecha v>0.

El conjunto bala-bloque inmeditamente después del choque lleva una velocidad v₀ y se encuentra en el origen x=0 en el instante t=0.

0=B-μ_kg/ω²v₀=Aω

La posición x y la velocidad v del cuerpo en su movimiento hacia la derecha es

$\begin{array}{l} x = \frac{v_{0}}{ω} \sin (ω t) + \frac{μ_{k} g}{ω^{2}} (cos (ω t) - 1) \\ v = v_{0} \cos (ω t) - \frac{μ_{k} g}{ω} \sin (ω t) \end{array}$

El máximo desplazamiento x_m se produce cuando la velocidad es nula v=0, en el instante ttal que

$\tan (ω t) = \frac{v_{0} ω}{μ_{k} g}$

Teniendo en cuanta las relaciones

$\sin θ = \frac{\tan θ}{\sqrt{1 + \tan^{2} θ}} cos θ = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2} θ}}$

Llegamos después de algunas operaciones a la expresión para el máximo desplazamiento x_m

$x_{m} = \frac{\sqrt{v_{0}^{2} ω^{2} + μ_{k}^{2} g^{2}} - μ_{k} g}{ω^{2}}$

El cuerpo se mueve hacia la izquierda v<0

Ponemos el contador de tiempo parcial t a cero, el cuerpo parte de la posición x_m con velocidad nula, las constantes A y B de la ecuación de la posición para v<0 valen

x_m=B+μ_kg/ω²0=Aω

La posición x y la velocidad v de dicho cuerpo en su movimiento hacia la izquierda es

$\begin{array}{l} x = (x_{m} - \frac{μ_{k} g}{ω^{2}}) cos (ω t) + \frac{μ_{k} g}{ω^{2}} \\ v = - (x_{m} ω - \frac{μ_{k} g}{ω}) \sin (ω t) \end{array}$

Para que el móvil pase por el origen x=0, se tiene que cumplir que

$\begin{array}{l} 0 = (x_{m} - \frac{μ_{k} g}{ω^{2}}) cos (ω t) + \frac{μ_{k} g}{ω^{2}} \\ cos (ω t) = \frac{- μ_{k} g}{ω^{2} x_{m} - μ_{k} g} \end{array}$

Para que |cos(ωt)|<1 se tiene que cumplir que ω²x_m>2μ_kg. Esta condición equivale a que la energía potencial del muelle en la posición x_m sea mayor que el trabajo de la fuerza de rozamiento

$\frac{1}{2} k x_{m}^{2} > μ_{k} (M + m) g x_{m} ω^{2} x_{m} > 2 μ_{k} g$

El cuerpo pasa por el origen x=0 en el instante t tal que

$ω t = π - \arccos (\frac{μ_{k} g}{ω^{2} x_{m} - μ_{k} g})$

La velocidad v_f que lleva al pasar por el origen x=0 es

$\begin{array}{l} v_{f} = - (x_{m} ω - \frac{μ_{k} g}{ω}) \sin (ω t) = - (x_{m} ω - \frac{μ_{k} g}{ω}) \sqrt{1 - \cos^{2} (ω t)} = \\ - \sqrt{ω^{2} x_{m}^{2} - 2 μ_{k} g x_{m}} \end{array}$

Como el radicando no puede ser negativo se tiene que cumplir que ω²x_m≥2μ_kg

En el caso que ω²x_m<2μ_kg el móvil se para antes de llegar al origen, en el instante t en el que v=0 ó sen(ωt)=0, ωt=π. La posición de parad es

$(x_{m} - \frac{μ_{k} g}{ω^{2}}) cos π + \frac{μ_{k} g}{ω^{2}} = - x_{m} + \frac{2 μ_{k} g}{ω^{2}}$

Como vemos x_f>0 si ω²x_m<2μ_kg

El bloque deja de estar en contacto con el muelle

Cuando el bloque deja de estar en contacto con el muelle la única fuerza que actúa sobre el cuerpo es la de rozamiento. El movimiento es rectilíneo, uniformemente acelerado. De nuevo ponemos el contador de tiempo parcial a cero.

$\begin{array}{l} v = v_{f} + μ_{k} g t \\ x = v_{f} t + \frac{1}{2} μ_{k} g t^{2} \end{array}$

El cuerpo se para cuando v=0, en la posición

$x = - \frac{v_{f}^{2}}{2 μ_{k} g}$

Ejemplo 1:

Coeficiente de rozamiento μ_s=μ_k=0.3
Masa del bloque, M=1 kg
Masa de la bala, m=0.2 kg
Velocidad de la bala, u= 10 m/s
Constante elástica del muelle, k=20 N/m

Choque de la bala y el bloque

La velocidad del cuerpo formado por el bloque y la bala después del choque es

0.2·10=(0.2+1)·v₀, v₀=5/3 m/s

El cuerpo se mueve hacia la derecha

La frecuencia angular $ω = \sqrt{\frac{20}{1.0 + 0.2}} = 4.08 rad/s$

La posición y velocidad de dicho cuerpo en función del tiempo t son

$\begin{array}{l} x = \frac{v_{0}}{ω} \sin (ω t) + \frac{μ_{k} g}{ω^{2}} (cos (ω t) - 1) \\ v = v_{0} \cos (ω t) - \frac{μ_{k} g}{ω} \sin (ω t) \end{array}$

El máximo desplazamiento x_m se produce cuando la velocidad es nula v=0, en el instante ttal que

$\begin{array}{l} \tan (ω t) = \frac{v_{0} ω}{μ_{k} g} = \frac{(5 / 3) \cdot 4.08}{0.3 \cdot 9.8} t = 0.285 s \\ x_{m} = \frac{1}{ω^{2}} (\sqrt{v_{0}^{2} ω^{2} - μ_{k}^{2} g^{2}} - μ_{k} g) = \frac{1}{{4.08}^{2}} (\sqrt{{(5 / 3)}^{2} {4.08}^{2} - {0.3}^{2} \cdot {9.8}^{2}} - 0.3 \cdot 9.8) = 0.268 m \end{array}$

En esta posición, x_m

La fuerza que ejerce el muelle es k·x_m=5.37 N
La fuerza de rozamiento es μ_s·(M+m)g=0.3·1.2·9.8=3.53 N

El cuerpo se mueve hacia la izquierda

Como ω²x_m<2μ_kg es decir, 4.08²·0.268<2·0.3·9.8, el móvil se para antes de llegar al origen, en el instante ωt=π, t_f=0.77 s, cuando se encuentra en la posición x_f.

$x_{f} = - x_{m} + \frac{2 μ_{k} g}{ω^{2}} = - 0.268 + \frac{2 \cdot 0.3 \cdot 9.8}{{4.08}^{2}} = 0.084 m = 8 .4 cm$

Ejemplo 2:

Coeficiente de rozamiento μ_s=μ_k=0.1
Masa del bloque, M=1 kg
Masa de la bala, m=0.2 kg
Velocidad de la bala, u= 10 m/s
Constante elástica del muelle, k=20 N/m

Choque de la bala y el bloque

La velocidad del cuerpo formado por el bloque y la bala del choque es

0.2·10=(0.2+1)·v₀, v₀=5/3 m/s

El cuerpo se mueve hacia la derecha

La frecuencia angular $ω = \sqrt{\frac{20}{1.0 + 0.2}} = 4.08 rad/s$

La posición y velocidad de dicho cuerpo en función del tiempo t son

$\begin{array}{l} x = \frac{v_{0}}{ω} \sin (ω t) + \frac{μ_{k} g}{ω^{2}} (cos (ω t) - 1) \\ v = v_{0} \cos (ω t) - \frac{μ_{k} g}{ω} \sin (ω t) \end{array}$

El máximo desplazamiento x_m se produce cuando la velocidad es nula v=0, en el instante ttal que

$\begin{array}{l} \tan (ω t) = \frac{v_{0} ω}{μ_{k} g} = \frac{(5 / 3) \cdot 4.08}{0.1 \cdot 9.8} t = 0.350 s \\ x_{m} = \frac{1}{{4.08}^{2}} (\sqrt{{(5 / 3)}^{2} {4.08}^{2} - {0.1}^{2} \cdot {9.8}^{2}} - 0.1 \cdot 9.8) = 0.354 m \end{array}$

En esta posición, x_m

La fuerza que ejerce el muelle es k·x_m=7.07 N
La fuerza de rozamiento es μ_s·(M+m)g=0.1·1.2·9.8=1.18 N

El cuerpo se mueve hacia la izquierda

Como ω²x_m>2μ_kg es decir, 4.08²·0.354 >2·0.1·9.8, el móvil cruza el origen, en el instante

$cos (ω t) = \frac{μ_{k} g}{ω^{2} x_{m} - μ_{k} g} = \frac{0.1 \cdot 9.8}{{4.08}^{2} \cdot 0.354 - 0.1 \cdot 9.8} t = 0.336 s$

La velocidad del cuerpo cuando pasa por el origen es

$v_{f} = - \sqrt{ω^{2} x_{m}^{2} - 2 μ_{k} g x_{m}} = - \sqrt{{4.08}^{2} \cdot {0.354}^{2} - 2 \cdot 0.1 \cdot 9.8 \cdot 0.354} = - 1.18 m/s$

El muelle deja de actuar sobre el bloque

as ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado del cuerpo son

$\begin{array}{l} v = v_{f} + μ_{k} g t = - 1.18 + 1 \cdot 9.8 \cdot t \\ x = v_{f} t + \frac{1}{2} μ_{k} g t^{2} = - 1.18 \cdot t + \frac{1}{2} 1 \cdot 9.8 \cdot t^{2} \end{array}$

En el instante t=1.20 s se para el móvil en la posición x=-0.710 m= -7.10 cm

Actividades

Se introduce

El coeficiente de rozamiento μ_s=μ_k, entre el bloque y el plano sobre el cual desliza, actuando en la barra de desplazamiento titulada Coef. rozamiento.
La masa m de la bala en kg, en el control de edición titulado Masa bala.
La velocidad u de la bala antes del choque en m/s, en el control de edición titulado Velocidad bala.
La masa del bloque se ha fijado en M=1 kg.
La constante k del muelle elástico en N/m, en el control de edición titulado Constante muelle.

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se observa el movimiento de la bala antes del choque, y del cuerpo formado por la bala y el bloque después del choque.

En la parte superior del applet, se proporciona los datos relativos, al tiempo total, tt, el tiempo parcial t en segundos, la posición x en cm y la velocidad v de la bala en m/s, y la energía del sistema formado por la bala, el bloque y el muelle, en cada instante.

Se dibujan mediante fechas las fuerzas sobre el cuerpo formado por el bloque y la bala después del choque.

RestitucionApplet1aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.