Choque de dos esferas iguales
En esta página, se estudia el choque de dos esferas iguales que cuelgan de sendos hilos inextensibles y de masa despreciable.
Las esferas se separan de su posición de equilibrio, ángulos iguales, se sueltan y se observa cómo decae la amplitud de sus oscilaciones como consecuencia de los choques.
Descripción
Movimiento de las esferas
La descripción del movimiento de cada una de las esferas
es similar al de un péndulo formado por una masa puntual m que cuelga de un hilo inextensible
de longitud l.
La ecuación del movimiento es
m·at=-mg·sinθ
Para determinar la posición angular θ de cada péndulo (el ángulo que forma con la vertical) en función del tiempo, se resuelve la ecuación diferencial por procedimientos numéricos en dos etapas con las siguientes condiciones iniciales:
- Movimiento hacia arriba: en la posición θ=0, la velocidad angular dθ/dt=v/l, siendo v la velocidad de la esfera después del choque.
- Movimiento hacia abajo: en la posición θ=θ0 de máximo desplazamiento, la velocidad angular es dθ/dt=0
Balance energético
Comparemos dos posiciones del péndulo:
En la posición extrema θ=θ0, la energía es
solamente potencial.
E=mg(l-l·cosθ0)
En la posición θ, la energía del péndulo es parte cinética y la otra parte potencial
La energía se conserva
v2=2gl(cosθ-cosθ0)
La velocidad u de cada una de las esferas justamente antes del choque, cuando θ=0 es
u2=2gl(1-cosθ0)
Choque de dos esferas
Las velocidades de las esferas v1=-v y v2=v después del choque están relacionadas con las velocidades u1=u y u2=-u antes del choque mediante
v1-v2=-e(u1-u2)
-2v=-e(2u),
La velocidad v de las esferas después del choque disminuye ya que el coeficiente de restitución e<1.
v=e·u
Sucesivos choques de las dos esferas
En la figura, se muestra:
- La posición inicial de partida, cuando la velocidad angular inicial es cero.
- Las dos esferas justamente antes del choque
- Las dos esferas justamente después del choque
- La posición final de máximo alejamiento de las esferas, cuando alcanzan la desviación máxima
- Primer choque
En el instante t=0, las esferas se encuentran desviadas de su posición de equilibrio un ángulo θ0, y a continuación, se sueltan. Se van acercando hasta que alcanzan la posición angular θ=0, justamente antes del choque. Su velocidad u0 es
La velocidad v1 de cada una de las esferas justamente después del choque es
v1=e·u0
Las esferas se alejan una de la otra hasta que alcanzan su máxima desviación θ1
La relación entre las desviaciones máximas inicial θ0 y final θ1 es
- Segundo choque
La velocidad u1 de cada una de las esferas justamente antes del segundo choque es la misma que la velocidad v1 de las esferas justamente después del primer choque, por el principio de conservación de la energía.
u1=v1
La velocidad v2 de cada una de las esferas justamente después del choque será
v2=e·u1
Las esferas se alejan una de la otra hasta que alcanzan su desviación máxima θ2
La relación entre las desviaciones máximas inicial θ1 y final θ2 es
- n choque
La relación entre dos ángulos consecutivos θn y θn-1 de desviación máxima es
La relación entre el el último θn y el inicial θ0 es
En vez de medir ángulos, es más cómodo medir la proyección xn del centro de la esfera sobre el eje horizontal X
xn=l·sinθn
Balance energético
A medida que las esferas chocan su energía va disminuyendo. La energía inicial de cada una de las esferas es
E0=mg(l-l·cosθ0)
Después de n choques la energía de cada una de las esferas es
Ejemplo
Se desvía cada una de las esferas un ángulo de θ0=90º de la posición de equilibrio
En el siguiente cuadro, se especifica la máxima desviación θn, la proyección en dicha posición xn del centro de la esfera sobre el eje X, y la energía En.
e=0.8 | ||
θ | x/l | E/E0 |
90º | 1.00 | 1.0 |
69º | 0.93 | 0.64 |
54º | 0.81 | 0.41 |
42º | 0.67 | 0.26 |
34º | 0.55 | 0.17 |
27º | 0.45 | 0.11 |
Actividades
Se introduce
-
El coeficiente de restitución e, actuando en la barra de desplazamiento titulada Coef. restitución.
Se pulsa el botón titulado Empieza
Se observa el movimiento de las dos esferas idénticas que parten de la posición θ0=90º y a continuación se sueltan.
Las esferas se acercan, chocan, se alejan hasta que alcanzan la desviación máxima y así, sucesivamente.
Sobre el eje horizontal, se van marcando las proyecciones del centro de una de las esferas cuando alcanzan la desviación máxima.
En la parte izquierda del applet, se muestra el balance energético:
-
La energía cinética, la energía potencial, y la suma de ambas.
-
La energía total, se representa mediante un segmento horizontal de color negro.
En la parte superior del applet se proporcionan los datos de
-
El ángulo de desviación de uno de los péndulos en función del tiempo
-
La velocidad angular en función del tiempo, que nos permitirá medir la desviación máxima cuando se hace cero.
-
La energía total E dividida por la energía inicial E0.