Rebotes en un plano inclinado

Una pelota se deja caer verticalmente desde una altura h₀ sobre un plano inclinado de pendiente θ. Vamos a estudiar las distintas etapas del movimiento de la de la pelota.

Estableceremos un Sistema de Referencia de modo que el eje X esté situado en el plano inclinado, y el eje Y sea perpendicular al mismo.

Primera etapa: caída libre

La pelota se deja caer verticalmente desde una altura h₀. Parte con velocidad inicial cero, desde la posición

x₀=-h₀·sinθ,
y₀=h₀·cosθ

Las componentes de la aceleración son

a_x=g·sinθ
a_y=-g·cosθ

El movimiento a lo largo de la recta vertical es la composición de dos movimientos uniformemente acelerados. Las componentes de la velocidad en función del tiempo son

v_x= g·sinθ·t
v_y=-g·cosθ·t

Las coordenadas de la pelota son

$\begin{array}{l} x = - h_{0} \sin θ + \frac{1}{2} g \sin θ \cdot t^{2} \\ y = h_{0} \cos θ - \frac{1}{2} g \cos θ \cdot t^{2} \end{array}$

La trayectoria es la línea recta y=-x/tanθ

La pelota llega al origen x=0, y=0 en el instante

$t_{0} = \sqrt{\frac{2 h_{0}}{g}}$

La velocidad con la que llega al origen es

v_x= g·senθ·t₀v_y=-g·cosθ·t₀

Segunda etapa

La pelota rebota:

La componente X de su velocidad no se modifica, v_0x=v_x
La componente Y de su velocidad cambia de sentido y disminuye su módulo, v_0y=-e·v_y

La pelota parte del origen x₀=0, y₀=0, en el instante t₀, con una velocidad inicial

v_0x= g·sinθ·t₀v_0y=e·g·cosθ·t₀

Las componentes de la velocidad en función del tiempo son

v_x=v_0x+ g·sinθ·(t-t₀)
v_y=v_0y-g·cosθ·(t-t₀)

Las coordenadas de la pelota son

$\begin{array}{l} x = v_{0 x} (t - t_{0}) + \frac{1}{2} g \sin θ \cdot {(t - t_{0})}^{2} \\ y = v_{0 y} (t - t_{0}) - \frac{1}{2} g \cos θ \cdot {(t - t_{0})}^{2} \end{array}$

La pelota llega al plano inclinado cuando y=0, en el instante t₁.

$t_{1} = t_{0} + \frac{2 v_{0 y}}{g \cdot \cos θ} = t_{0} (1 + 2 e)$

La posición x₁ del punto de impacto es

$x_{1} = 2 g t_{0}^{2} e (1 + e) \sin θ$

Las componentes de la velocidad final son

v_x=g·t₀·(1+2e)·sinθ
v_y=-e·g·t₀·cosθ

Tercera etapa

La pelota rebota:

La componente X de su velocidad no se modifica, v_1x=v_x
La componente Y de su velocidad cambia de sentido y disminuye su módulo, v_1y=-e·v_y

La pelota parte de la posición x₁, y₁=0 en el instante t₁, con una velocidad inicial

v_1x= g·t₀·(1+2e)·sinθ
v_1y=e²·g·t₀·cosθ

Las componentes de la velocidad en función del tiempo son

v_x=v_1x+ g·sinθ·(t-t₁)
v_y=v_1y-g·cosθ·(t-t₁)

Las coordenadas de la pelota son

$\begin{array}{l} x = x_{1} + v_{1 x} (t - t_{1}) + \frac{1}{2} g \sin θ \cdot {(t - t_{1})}^{2} \\ y = v_{1 y} (t - t_{1}) - \frac{1}{2} g \cos θ \cdot {(t - t_{1})}^{2} \end{array}$

La pelota llega al plano inclinado cuando y=0, en el instante t₂.

$t_{2} = t_{1} + \frac{2 v_{1 y}}{g \cdot \cos θ} = t_{0} (1 + 2 e + 2 e^{2})$

La posición x₂ del punto de impacto es

$x_{2} = 2 g t_{0}^{2} (e + 2 e^{2} + 2 e^{3} + e^{4}) \sin θ$

Las componentes de la velocidad final son

v_x=g·t₀·(1+2e+2e²)·sinθ
v_y=-e²·g·t₀·cosθ

Tercera etapa

La pelota rebota:

La componente X de su velocidad no se modifica, v_2x=v_x
La componente Y de su velocidad cambia de sentido y disminuye su módulo, v_2y=-e·v_y

La pelota parte de la posición x₂, y₂=0, en el instante t₂, con una velocidad inicial

v_2x= g·t₀·(1+2e+2e²)·sinθ
v_2y=e³·g·t₀·cosθ

Las componentes de la velocidad en función del tiempo son

v_x=v_2x+ g·sinθ·(t-t₂)
v_y=v_2y-g·cosθ·(t-t₂)

Las coordenadas de la pelota son

$\begin{array}{l} x = x_{2} + v_{2 x} (t - t_{2}) + \frac{1}{2} g \sin θ \cdot {(t - t_{2})}^{2} \\ y = v_{2 y} (t - t_{2}) - \frac{1}{2} g \cos θ \cdot {(t - t_{2})}^{2} \end{array}$

La pelota llega al plano inclinado cuando y=0, en el instante t₃.

$t_{3} = t_{2} + \frac{2 v_{2 y}}{g \cdot \cos θ} = t_{0} (1 + 2 e + 2 e^{2} + 2 e^{3})$

La posición x₃ del punto de impacto es

$x_{3} = 2 g t_{0}^{2} (e + 2 e^{2} + 3 e^{3} + 3 e^{4} + 2 e^{5} + e^{6}) \sin θ$

Las componentes de la velocidad final son

v_x=g·t₀·(1+2e+2e²+2e³)·sinθ
v_y=-e³·g·t₀·cosθ

Cuarta etapa

La pelota rebota:

La componente X de su velocidad no se modifica, v_3x=v_x
La componente Y de su velocidad cambia de sentido y disminuye su módulo, v_3y=-e·v_y

La pelota parte de x₃, y₃=0, en el instante t₃, con una velocidad inicial

v_3x= g·t₀·(1+2e+2e²+2e³)·sinθ
v_3y=e⁴·g·t₀·cosθ

Las componentes de la velocidad de la pelota en función del tiempo son

v_x=v_3x+ g·sinθ·(t-t₃)
v_y=v_3y-g·cosθ·(t-t₃)

Las coordenadas de la pelota son

$\begin{array}{l} x = x_{3} + v_{3 x} (t - t_{3}) + \frac{1}{2} g \sin θ \cdot {(t - t_{3})}^{2} \\ y = v_{3 y} (t - t_{3}) - \frac{1}{2} g \cos θ \cdot {(t - t_{3})}^{2} \end{array}$

La pelota llega al plano inclinado cuando y=0, en el instante t₄.

$t_{4} = t_{3} + \frac{2 v_{3 y}}{g \cdot \cos θ} = t_{0} (1 + 2 e + 2 e^{2} + 2 e^{3} + 2 e^{4})$

La posición x₄ del punto de impacto es

$x_{4} = 2 g t_{0}^{2} (e + 2 e^{2} + 3 e^{3} + 4 e^{4} + 4 e^{5} + 3 e^{6} + 2 e^{7} + e^{8}) \sin θ$

Las componentes de la velocidad final son

v_x=g·t₀·(1+2e+2e²+2e³+2e⁴)·sinθ
v_y=-e⁴·g·t₀·cosθ

Etapa n

Al finalizar la etapa n, la posición de la pelota es

$x_{n} = 2 g t_{0}^{2} (\sum_{i = 1}^{n} i \cdot (e^{i} + e^{2 n + 1 - i})) \sin θ$

que se alcanza en el instante

$t_{n} = t_{0} (1 + 2 e (\sum_{i = 0}^{n - 1} e^{i}))$

Las componentes de la velocidad final son

$\begin{array}{l} v_{x} = g \cdot \sin θ \cdot t_{0} (1 + 2 e (\sum_{i = 0}^{n - 1} e^{i})) \\ v_{y} = - e^{n} g \cdot t_{0} \cos θ \end{array}$

Después de muchos rebotes (n→∞)

Sabiendo que

$\sum_{i = 0}^{\infty} e^{i} = \frac{1}{1 - e}$

es la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica cuyo primer término es a₀=1, y cuya razón es e<1

$t_{\infty} = t_{0} \frac{1 + e}{1 - e}$

El valor de t_∞ es idéntico al que hemos obtenido para el caso de rebotes en el plano horizontal.

Las componentes de la velocidad tienden a

$\begin{array}{l} v_{x} = g t_{0} \frac{1 + e}{1 - e} \sin θ \\ v_{y} = 0 \end{array}$

Teniendo en cuenta que

$\lim_{n \to \infty} (\sum_{i = 1}^{n} i \cdot (e^{i} + e^{2 n + 1 - i})) = \frac{e}{{(1 - e)}^{2}}$

Su demostración no es evidente, por lo que proporcionamos en el cuadro adjunto, el código en lenguaje Java de un pequeño programa que permite obtener el valor numérico aproximado de la serie, para e<1, cuando n es grande pero finito

La posición de los sucesivos rebotes en el plano inclinado, alcanza un límite x_∞

$x_{\infty} = 2 g t_{0}^{2} \frac{e}{{(1 - e)}^{2}} \sin θ$

public class Serie {
	static double e=0.8;
public static void main(String[] args) {
	int n=200;
	double suma=0.0;
	for(int i=1; i<=n; i++){
		suma+=i*(potencia(e, i)+potencia(e, (2*n+1-i)));
	}
	System.out.println(suma);
}
static double potencia(double x, int i){
	double pot=1.0;
	for(int j=1; j<=i; j++){
		pot*=x;
	}
	return pot;
}
}

En la figura, se muestra la variación de la componente Y de la velocidad, al final de cada una de las etapas del movimiento de la pelota. Como vemos v_y tiende a cero cuando t→t_∞.

En la figura, se muestra la variación de la componente X de la velocidad, al final de cada una de las etapas del movimiento de la pelota. Como vemos v_x tiende a un valor límite cuando t→t_∞.

En la figura, se muestra la posición x_i de la pelota en el momento que rebota en el plano inclinado Como vemos x no crece indefinidamente, sino que tiende a un valor límite x_∞ cuando t→t_∞.

Actividades

Se introduce

El ángulo del plano inclinado θ, actuando en la barra de desplazamiento titulada Pendiente
El coeficiente de restitución e, actuando en la barra de desplazamiento titulada Coef. restitución
La altura desde la que se deja cera la pelota h₀, en el control de edición titulado Altura inicial

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se observa los sucesivos rebotes de la pelota en el plano inclinado.

En la parte superior del applet, se proporcionan los datos de la posición y velocidad de la pelota en función del tiempo, referidos a un sistema de Referencia en el que el eje X está en el plano horizontal y el eje Y es perpendicular al mismo

Se utilizarán los botones Pausa y Paso, para medir los instantes t_i en los que tiene lugar el rebote y las posiciones x_i de los mismos a lo largo del plano inclinado.

RestitucionApplet1aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Physics challenges for teachers and students. Solutions to October 2004. The Physics Teacher, 42 (2004) pp. S2