Caída libre y sucesivos rebotes

En esta página, se presenta un ejemplo interesante que permite al estudiante obtener expresiones para un caso general una vez examinados las dos o tres primeras situaciones. Se trata de un ejercicio de progresiones geométricas, un tema habitual en los cursos de Matemáticas a nivel elemental.

Rebotes en el plano horizontal

Balon7.gif (2174 bytes) Cuando una pelota rebota sobre un tablero rígido, la componente de la velocidad perpendicular al tablero disminuye su valor, quedando la componente paralela inalterada

v_x=u_xv_y=-e·u_y

Alturas de los sucesivos rebotes

Supongamos que una pelota se deja caer desde una altura inicial h. Vamos a calcular las alturas de los sucesivos rebotes.

1.-Primer rebote

La velocidad de la pelota antes del choque con el suelo se calcula aplicando el principio de conservación de la energía

$m g h = \frac{1}{2} m u_{1}^{2} u_{1} = \sqrt{2 g h}$

La velocidad de la pelota después del choque es (en módulo) v₁=e·u₁

La pelota asciende con una velocidad inicial v₁, y alcanza una altura máxima h₁ que se calcula aplicando el principio de conservación de la energía

$\frac{1}{2} m v_{1}^{2} = m g h_{1} h_{1} = e^{2} h$

2.-Segundo rebote

La velocidad de la pelota antes del choque con el suelo se calcula aplicando el principio de conservación de la energía

$\frac{1}{2} m u_{2}^{2} = m g h_{1} u_{2} = \sqrt{2 g h_{1}}$

La velocidad de la pelota después del choque es v₂=e·u₂

La pelota asciende con una velocidad inicial v₂, y alcanza una altura máxima h₂ que se calcula aplicando el principio de conservación de la energía

$\frac{1}{2} m v_{2}^{2} = m g h_{2} h_{2} = e^{2} h_{1} = e^{4} h$

3.-Rebote n

Después del choque n, la altura máxima que alcanza la pelota es

$h_{n} = e^{2 n} \cdot h$

Pérdida de energía que experimenta la pelota

En el primer choque, la pelota pierde una energía

$Δ E_{1} = \frac{1}{2} m v_{1}^{2} - \frac{1}{2} m u_{1}^{2} = (e^{2} - 1) m g h$

En el segundo choque, la pelota pierde una energía

$Δ E_{2} = \frac{1}{2} m v_{2}^{2} - \frac{1}{2} m u_{2}^{2} = (e^{2} - 1) m g h_{1} = e^{2} (e^{2} - 1) m g h$

En el choque n la pelota pierde una energía

$Δ E_{n} = \frac{1}{2} m v_{n}^{2} - \frac{1}{2} m u_{n}^{2} = (e^{2} - 1) m g h_{n - 1} = e^{2 (n - 1)} (e^{2} - 1) m g h$

La suma de ΔE₁+ ΔE₂+ ΔE₃+…. ΔE_n es la energía perdida por la pelota después de n choques. Después de infinitos choques la pelota habrá perdido toda su energía inicial mgh. Vamos a comprobarlo sumando los infinitos términos de una progresión geométrica de razón e² y cuyo primer término es ΔE₁

$Δ E_{\infty} = \frac{(e^{2} - 1) m g h}{1 - e^{2}} = - m g h$

Tiempo que tarda la pelota en pararse.

El tiempo que tarda la pelota en llegar al suelo cuando se deja caer desde una altura h partiendo del reposo es

$h = \frac{1}{2} g t_{0}^{2} t_{0} = \sqrt{\frac{2 h}{g}}$

La pelota rebota y sube hasta una altura h₁, a continuación cae de nuevo al suelo. El tiempo que tarda en subir y bajar es

$t_{1} = 2 \sqrt{\frac{2 h_{1}}{g}} = 2 \sqrt{\frac{2 e^{2} h_{0}}{g}} = 2 t_{0} e$

La pelota rebota y sube hasta una altura h₂, y a continuación cae de nuevo al suelo. El tiempo que tarda en subir y bajar es

$t_{2} = 2 \sqrt{\frac{2 h_{2}}{g}} = 2 \sqrt{\frac{2 e^{4} h_{0}}{g}} = 2 t_{0} e^{2}$

El tiempo total tras infinitos rebotes es la suma de t₀ y los términos de una progresión geométrica cuyo primer término es 2t₀e y cuya razón es e.

$t_{\infty} = t_{0} + \frac{2 e t_{0}}{1 - e} = t_{0} \frac{1 + e}{1 - e} = \frac{1 + e}{1 - e} \sqrt{\frac{2 h}{g}}$

Si a la pelota se le proporciona una velocidad inicial horizontal v_x. Después de infinitos rebotes se desplaza una distancia horizontal x=v_x·t_∞

Medida del coeficiente de restitución e y la aceleración de la gravedad g.

El tiempo t_n que pasa la pelota en el aire entre dos sucesivos choques con el suelo es

$t_{n} = 2 t_{0} e^{n}$

Tomando logaritmos

$\ln t_{n} = n \ln e + \ln (2 t_{0})$

Si representamos gráficamente ln t_nen función de n obtenemos una línea recta, cuya pendiente es el coeficiente de restitución e, y cuya ordenada en el origen es ln(2t₀)

Midiendo la ordenada en el origen obtenemos 2t₀

$2 t_{0} = \sqrt{\frac{8 h}{g}}$

conocida la altura h a la que se ha dejado caer inicialmente a la pelota despejamos la aceleración de la gravedad g.

Actividades

Se introduce

El coeficiente de restitución e, en el control de edición titulado Coeficiente de restitución.
La altura inicial está fijada en el programa interactivo en h=3 m

Se pula el botón titulado Empieza

Ejemplo:

Introducimos e=0.90 como coeficiente de restitución

Determinar la altura máxima que alcanza la pelota después del tercer choque con el suelo

h₃=e^2·3h h₃=1.59 m

El tiempo que tarda en alcanzar dicha altura

$t = t_{0} + t_{1} + t_{2} + \frac{t_{3}}{2} = t_{0} + 2 t_{0} e + 2 t_{0} e^{2} + t_{0} e^{3} = t_{0} (1 + 2 e + 2 e^{2} + 2 e^{3}) = 4.03 s$

Donde t₀=0.78 s es el tiempo que tarda en llegar al suelo cuando se deja caer desde la altura inicial de 3 m.

La energía de la partícula después del tercer rebote

La energía perdida ΔE en el primer, segundo y tercer rebote es

$Δ E = (e^{2} - 1) m g h + e^{2} (e^{2} - 1) m g h + e^{4} (e^{2} - 1) m g h = (1 + e^{2} + e^{4}) (e^{2} - 1) m g h = - 13.78 \cdot m J$

La energía final E_f=mgh+ΔE=15.62·m J

En la parte izquierda del applet, se muestra mediante un diagrama de barras, la energía de la pelota. La energía se conserva entre dos choques consecutivos con el suelo trasformándose la energía cinética (en color azul) en potencial (en color rojo) cuando la pelota sube y en sentido contrario cuando la pelota baja. La energía de la pelota está marcada por líneas de color negro. De esta manera, podemos comparar la energía que se pierde en los sucesivos choques.

RestitucionApplet1aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Bernstein A. D. Listening to the coefficient of restitution. Am. J. Phys. 45 (1) January 1977, pp. 41-44