Gravedad artificial

En esta página, se estudia la gravedad artificial creada en una nave espacial de forma cilíndrica que viaja por el espacio exterior, cuando describe un movimiento de rotación con velocidad angular constante alrededor de su eje de simetría.

Determinaremos la trayectoria

de un cuerpo que se deja “caer” desde una altura h sobre el “suelo”.
de un cuerpo que se lanza hacia "arriba"

La aceleración de la gravedad

Una nave espacial de radio R describe un movimiento de rotación alrededor de su eje con velocidad angular constante ω.

Un objeto de masa m situado en la pared de la nave experimenta una fuerza centrípeta

F=mω²R

La aceleración de la gravedad artificial es la fuerza por unidad de masa en dicho punto.

a=F/m=ω²R

Un astronauta de altura h experimenta distintas aceleraciones, ya que la cabeza está más cerca del eje de rotación que los pies.

La aceleración de la cabeza es a_c= ω²(R-h)
La aceleración de los pies es a_p= ω²R

El cociente entre ambas aceleraciones es

$\frac{a_{c}}{a_{p}} = \frac{R - h}{R}$

Para que el astronauta no note la diferencia de aceleraciones a lo largo de su cuerpo, a_p y a_c deben de ser casi iguales. Por ejemplo, si a_c=0.99·a_p, para un astronauta de que mida h=2 m, el radio R de la nave deberá ser de 200 m.

“Caída” de los cuerpos

Los cuerpos “caen” de forma distinta en la nave espacial en rotación que en la superficie de la Tierra.

Supongamos que un cuerpo se libera a una altura h o bien, a una distancia r=R-h del eje de rotación. La posición inicial del objeto en el Sistema de Referencia Inercial OXY es

x₀=r
y₀=0

El cuerpo se mueve en línea recta con velocidad constante ω·r, en la dirección tangente a la circunferencia que describe, tal como se muestra en la figura. Las sucesivas posiciones del cuerpo son

x= r
y=ω·r·t

El cuerpo choca con la pared de la nave en el instante en el que se cumple que

x²+y²=R²

Despejamos el tiempo t que tarda en llegar el cuerpo al “suelo”

$t = \frac{1}{ω} \sqrt{\frac{R^{2}}{r^{2}} - 1} t = \frac{\sqrt{h (2 R - h)}}{ω (R - h)}$

La posición angular del cuerpo cuando llega al “suelo” es θ_c=arctan(y/x)=arctan(ωt)

$θ_{c} = \arctan \frac{\sqrt{h (2 R - h)}}{R - h}$

Mientras el cuerpo se mueve, el astronauta en reposo sobre la nave, gira. Su posición angular en el instante t es

$θ_{a} = ω t = \frac{\sqrt{h (2 R - h)}}{R - h}$

Ambas posiciones no coinciden, la diferencia es

$Δ θ = \frac{\sqrt{h (2 R - h)}}{R - h} - \arctan \frac{\sqrt{h (2 R - h)}}{R - h}$

Ejemplo

ω=5rpm=5·2·π/60= π/6 rad/s
h=2 m
R=10 m.

El tiempo que tarda en llegar el cuerpo al “suelo” es

$t = \frac{\sqrt{2 (2 \cdot 10 - 2)}}{\frac{π}{6} (10 - 2)} = 1.43 s$

La diferencia entre las posiciones angulares del astronauta y del cuerpo es

$Δ θ = \frac{\sqrt{2 (2 \cdot 10 - 2)}}{10 - 2} - \arctan \frac{\sqrt{2 (2 \cdot 10 - 2)}}{10 - 2} = 0.11 rad = 6 .1º$

El lector puede probar a acertar, cuál deberá ser la altura h del objeto, para que éste caiga a los pies del astronauta, es decir Δθ=2π.

Actividades

Se introduce

La velocidad angular de rotación ω, en rpm (revoluciones por minuto), actuando en la barra de desplazamiento titulada Velocidad angular.
El radio de la nave espacial se ha fijado en R=10 m

Se pulsa el botón titulado Inicio

Con el puntero del ratón se arrastra el pequeño círculo de color rojo, para establecer la altura h del cuerpo sobre el “suelo”.

El astronauta se representa por un segmento de color azul que está en reposo sobre la nave, por tanto, gira con la misma velocidad angular ω.

Se pulsa el botón titulado Empieza

El cuerpo se deja “caer” desde la altura h, describiendo un movimiento rectilíneo uniforme hasta que choca con el “suelo”.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.