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Fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad.

Si despreciamos el empuje, las fuerzas que actúan sobre el cuerpo de masa m son:

Las ecuaciones del movimiento del cuerpo serán por tanto.

m d v x dt =mb v x v x 2 + v y 2 m d v y dt =mgmb v y v x 2 + v y 2

Este sistema de ecuaciones diferenciales acopladas se resuelven aplicando procedimientos numéricos, por ejemplo, el método de Runge-Kutta.

Las condiciones iniciales son las misma que en la sección anterior t=0, v0x=v0·cosθ , v0y=v0·sinθ , x=0, y=0

Actividades

En el applet introducimos:

Se pulsa el botón titulado Empieza

El programa interactivo traza y calcula el alcance de los proyectiles disparados con ángulos de 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 y 45º (en color rojo).

Compara estas trayectorias con la que seguiría el mismo proyectil disparado con un ángulo de 45º en el vacío (en color azul).

En la parte superior derecha del applet, se muestra el alcance (aproximado) de cada uno de los proyectiles. Podemos observar que el máximo alcance del proyectil no se obtiene para el ángulo de disparo de 45º sino para un ángulo inferior. Y como cabía esperar, el alcance del proyectil disparado con 45º es inferior en un medio como el aire que en el vacío.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Alcance, altura máxima y tiempo de vuelo

En el apartado anterior, se ha calculado la trayectoria del proyectil resolviendo un sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden. En este apartado, vamos a integrar las ecuaciones del movimiento para calcular el alcance, el tiempo de vuelo y la altura máxima.

Cambiamos de sistema de referencia, y escribimos las ecuaciones del movimiento en la dirección tangencial y en la dirección normal

m dv dt =mb v 2 mgsinθ m v 2 ρ =mgcosθ

donde ρ es el radio de curvatura de la trayectoria.

En el intervalo de tiempo comprendido entre t y t+dt, la dirección del vector velocidad cambia un ángulo , que es el ángulo entre las tangentes o entre las normales. El móvil se desplaza en este intervalo de tiempo un arco ds=ρ·dθ,  tal como se aprecia en la figura.

 

 

dv dt = dv ds ds dt =v dv ds = v ρ dv dθ

Hemos de tener en cuenta que la curvatura de la trayectoria es negativa (figura de la derecha). La curva queda a la derecha de la tangente tomada en sentido de las x crecientes. La igualdad anterior se escribe para este caso

dv dt = v ρ dv dθ

Las ecuaciones del movimiento en la dirección tangencial y en la dirección normal se convierten en una única ecuación diferencial de primer orden.

gcosθ v dv dθ =b v 2 +gsinθ 1 v 3 dv dθ 1 v 2 tanθ= b gcosθ

Haciendo el cambo de variable u=1/v2

du dθ +2tanθ·u= 2b gcosθ

Esta ecuación es del tipo lineal (véase Puig Adam P., Curso teórico-práctico de Ecuaciones Diferenciales aplicado a la Física y Técnica. Biblioteca Matemática, 1970. págs. 29-30)

Buscamos una solución de la forma u=w(θ)·z(θ)

w dz dθ +z dw dθ +2tanθ·(w·z)= 2b gcosθ w( dz dθ +2tanθ·z )+z dw dθ = 2b gcosθ

Hacemos que

dz dθ +2tanθ·z=0

La integral se calcula fácilmente

dz z =2tanθ dz z =2 tanθ·dθ lnz=2lncosθ+lnC z= C 1 cos 2 θ

Nos queda ahora que

z dw dθ = 2b gcosθ dw dθ = 2b C 1 g cos 3 θ w= 2b C 1 g dθ cos 3 θ

Integramos por partes

dθ cos 3 θ = tanθ cosθ dθ cos 3 θ + dθ cosθ dθ cos 3 θ = 1 2 tanθ cosθ + 1 2 dθ cosθ  

Resolvemos esta última integral haciendo el cambio de variable t=tan(θ/2)

cosθ= cos 2 (θ/2) sin 2 (θ/2)= 1 1+ t 2 t 2 1+ t 2 = 1 t 2 1+ t 2 dθ= 2 1+ t 2 dt dθ cosθ = 2dt 1 t 2 = dt 1t + dt 1+t = ln 1+t 1t = ln 1+tan(θ/2) 1tan(θ/2) =ln cos(θ/2)+sin(θ/2) cos(θ/2)sin(θ/2) =ln 1+sinθ cosθ dθ cosθ =ln| tanθ+ 1 cosθ |

De este modo,

dθ cos 3 θ = 1 2 tanθ cosθ + 1 2 ln| tanθ+ 1 cosθ |

Finalmente,

w= 2b C 1 g ( 1 2 tanθ cosθ + 1 2 ln| tanθ+ 1 cosθ | )+ C 2 u=w·z= cos 2 θ{ C 2 b g ( tanθ cosθ +ln| tanθ+ 1 cosθ | ) } v 2 = 1 cos 2 θ { C 2 b g ( tanθ cosθ +ln| tanθ+ 1 cosθ | ) } 1

La constante de integración C2 se calcula a partir de las condiciones iniciales: en el instante t=0, la velocidad de disparo es v0 y hace un ángulo θ0 con la horizontal (véase la figura más abajo)

v 2 = 1 cos 2 θ { C 2 b g ( tanθ cosθ +ln| tanθ+ 1 cosθ | ) } 1 v 0 2 = 1 cos 2 θ 0 { C 2 b g ( tan θ 0 cos θ 0 +ln| tan θ 0 + 1 cos θ 0 | ) } 1

La función que relaciona el módulo de la velocidad v y el ángulo θ, que forma la dirección de la velocidad (tangente a la trayectoria) con la horizontal es

v 2 = 1 cos 2 θ { 1 v 0x 2 b g ( f(θ)f( θ 0 ) ) } 1 f(θ)= tanθ cosθ +ln| tanθ+ 1 cosθ |

Posición del proyectil

dx=ds·cosθ=ρdθ·cosθ

Utilizando la ecuación del movimiento en la dirección normal, y teniendo en cuenta que la trayectoria tiene curvatura negativa

dx= v 2 gcosθ cosθ·dθ= v 2 g dθ x= θ 0 θ v 2 g dθ

Del mismo modo

dy=ds·sinθ=ρdθ·sinθ

dy= v 2 gcosθ sinθ·dθ= v 2 g tanθdθ y= θ 0 θ v 2 g tanθ·dθ

Tiempo de vuelo

ds=v·dt
ρdθ=
v·dt

dt= v 2 vgcosθ dθ= v gcosθ dθ t= θ 0 θ v gcosθ dθ

El programa interactivo calcula el ángulo θ final que forma la dirección de la velocidad cuando y=0 (véase la figura más arriba).

θ 0 θ v 2 g tanθ·dθ =0

Conocido el ángulo final θf se calcula el alcance x y el tiempo de vuelo t, resolviendo numéricamente las integrales

x= θ 0 θ v 2 g dθ t= θ 0 θ v gcosθ dθ

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Calcular

El programa interactivo, calcula

Entre paréntesis se muestran los resultados para el caso del tiro parabólico ideal (sin rozamiento)

ForzadasApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Erlichson H. Maximum projectile range with drag and lift, with particular application to golf. Am. J. Phys. 51 (4) April 1983, pp. 357-362.

Warburton R. D. H. , Wang J., Analysis of asymptotic projectile motion with air resistance using Lambert W function. Am. J. Phys. 72 (11) November 2004, pp. 1404-1407

Brancazio P. J. Looking into Chapman's homer: The physics of judging a fly ball. Am. J. Phys. 53 (9) September 1985, pp. 849-855.

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