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El mejor ángulo para arrastrar un bloque

En esta página, se presenta un ejemplo más en el que se analiza la fuerza de rozamiento entre un cuerpo y la superficie horizontal sobre la que desliza. La novedad de este ejemplo, es que la reacción del plano no es constante sino que cambia con el ángulo que forma la fuerza aplicada con la horizontal.

Sea un bloque rectangular de masa m que está situado sobre un plano horizontal. Si aplicamos una fuerza T que hace un ángulo θ con la horizontal, ¿cuál debe ser el valor de dicha fuerza para que el bloque empiece a moverse?. Más aún, determínese el valor del ángulo θ para el cual la fuerza aplicada es mínima.

Habitualmente, los estudiantes tienden a identificar la reacción del plano o la fuerza normal N hacia arriba que ejerce el plano sobre el bloque, con el peso mg si el plano es horizontal, y con la componente perpendicular del peso mgcosθ si el plano está inclinado un ángulo θ. Vamos a ver en este ejemplo, que el valor de la reacción del plano N depende de las otras fuerzas que se aplican sobre el bloque.

Descripción

En el análisis de este problema solamente estamos interesados en la situación de equilibrio, mientras el bloque está en reposo sobre el plano horizontal, pero no estamos directamente interesados en el movimiento del bloque una vez que ha empezado a deslizar, no obstante, escribiremos las ecuaciones del movimiento.

• El bloque en reposo

Dibujamos las fuerzas que actúan sobre el bloque

• El peso mg
• La fuerza aplicada T que forma un ángulo θ con la horizontal.
• La fuerza  N que ejerce el plano sobre el bloque
• La fuerza de rozamiento F_r.

 

 

Las condiciones de equilibrio se escriben

Tcosθ-F_r=0
Tsinθ+N-mg=0

Cuando el bloque empieza a deslizar la fuerza de rozamiento alcanza un valor máximo dado por F_r=μ_sN, siendo μ_s el coeficiente de rozamiento estático, y N=mg-Tsinθ

En esta situación, despejamos T del sistema de ecuaciones.

${\displaystyle T=\frac{{\mu }_{s}mg}{\cos \theta +{\mu }_s\sin \theta }}$

T es una función del ángulo θ.

Esta función tiene un mínimo, el mejor ángulo para arrastrar el bloque, que se obtiene derivando T respecto de θ, e igualando a cero.

${\displaystyle \frac{dT}{d\theta }=\frac{-{\mu }_{s}mg(-\sin \theta +{\mu }_s\cos \theta )}{{(\cos \theta +{\mu }_s\cos \theta )}^2}=0}$

El valor de la fuerza mínima T que tenemos que aplicar al cuerpo para que empiece a deslizar vale

${\displaystyle \tan \theta ={\mu }_s{T}_{\min }=\frac{{\mu }_{s}mg}{\sqrt{1+{\mu }_s^2}}}$

• El bloque en movimiento

Una vez que el bloque empieza a moverse, la fuerza de rozamiento disminuye, ya que el coeficiente de rozamiento cinético μ_k es, de ordinario, menor que el estático μ_s. En la simulación hemos tomado arbitrariamente la siguiente relación μ_k=0.9 μ_s.

Tenemos que aplicar las ecuaciones de la dinámica al bloque y a las pesas que cuelgan de la polea.

• Movimiento del bloque

El bloque está en equilibrio en la dirección vertical

Tsinθ+N-mg=0

El bloque se mueve con aceleración a a lo largo del plano

Tcosθ-F_r=ma  con F_r= μ_k·N

• Movimiento de las pesas

Las pesas situadas en un platillo se mueven con aceleración a' que es distinta de la aceleración a del bloque, siendo la relación entre ambas aceleraciones a y a' bastante complicada.

Mg-T=Ma'

Como vemos en la parte derecha de la figura, cuando el bloque se desplaza x las pesas se desplazan y. La relación entre x e y es

${\displaystyle y=\sqrt{d^2+h^2}-\sqrt{{(d-x)}^2+h^2}}$

donde d es la distancia medida a lo largo del plano entre el origen y la posición de la polea y h es la altura de la polea sobre el plano horizontal. Para obtener la relación entre las aceleraciones a=d²x/dt² y a’=d²y/dt², hay que derivar dos veces respecto del tiempo la relación anterior entre x e y.

Para determinar la posición x del bloque en función del tiempo t, hemos de resolver una ecuación diferencial por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales en el instante t=0, x=x₀, v=0.

Actividades

Se introduce 

• El coeficiente de rozamiento μ_s, en el control de edición titulado Coef. de rozamiento
• El ángulo que forma la cuerda con la horizontal, actuando en la barra de desplazamiento titulada Angulo
• La masa m del bloque que está sobre el plano horizontal se ha fijado en 1 kg.

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Aplicamos la fuerza T colocando pesas en el extremo de la cuerda que pasa por la polea, para ello, se selecciona el tipo de pesa y se arrastra con el puntero del ratón hasta colgarla del gancho, o de la pesa previa.

Tenemos que acercarnos lo máximo posible al valor de la fuerza μ_sN que hace que el bloque comience a deslizar con el juego de pesas disponible. En este caso, se dispone de un total de 16 pesas, cuatro de cada tipo:

• 5
• 25 g
• 100 g
• 500 g

Ejemplo:

μ_s=0.75
θ=30º

Procedimiento para acercarnos al valor máximo de la fuerza de rozamiento.

1. Se empieza colocando una pesa de 500 g, el bloque no desliza. Se pone una segunda pesa de 500 g, el bloque desliza.
2. Se pulsa el botón titulado Repetir. Se pone una pesa de 500 g. Se añade una pesa de 100 g, el bloque no desliza. Se añade otra pesa de 100 g, el bloque desliza.
3. Se pulsa el botón titulado Repetir. Se pone una pesa de 500 g, y una pesa de 100 g. Se añade una pesa de 25 g, el bloque desliza.
4. Se pulsa el botón titulado Repetir. Se pone una pesa de 500 g, una pesa de 100 g. Se añade una pesa de 5 g, el bloque desliza.

El valor de la tensión T de la cuerda más cercana al valor máximo μ_sN (por exceso) es

${\displaystyle T=\frac{(500+100+5)10.0}{1000}=6.05\text{N}}$

La aceleración de la gravedad se ha tomado como g=10.0 m/s²

Se pulsa el botón titulado Guardar,  para guardar este resultado "experimental" en el área de texto situado a la izquierda del applet.

Pulsando el botón titulado Gráfica

Se representa la fuerza aplicada T sobre el bloque para cada ángulo θ que forma la cuerda con la horizontal en el momento en el que el bloque empieza a deslizar.

${\displaystyle T=\frac{{\mu }_{e}mg}{\cos \theta +{\mu }_s\sin \theta }}$

Se señala también, el ángulo que corresponde al mínimo de la fuerza aplicada sobre el bloque

θ_mín=arctan(μ_s)   

Vemos que el resultado "experimental", un punto de color rojo que señala la medida efectuada se sitúa sobre la gráfica de la fuerza aplicada T en función de del ángulo θ que hace la cuerda con la horizontal. Nuestra medida ha sido efectuada correctamente.

Para confirmarlo, calculamos su valor exacto de T para el ángulo θ=30º mediante la fórmula

${\displaystyle T=\frac{0.75·1·10}{\cos 30+0.75·\sin 30}=6.04\text{N}}$

En la parte superior izquierda del applet, se dibujan las fuerzas sobre el bloque. Observamos que la fuerza N que ejerce el plano sobre el bloque no es constante e igual al peso del bloque mg sino que va cambiando a medida que se modifica la fuerza aplicada T o el ángulo θ que hace la cuerda con la horizontal.

Se cambia el ángulo que forma la cuerda con la horizontal, actuando en la barra de desplazamiento titulada Angulo,  y se vuelve a repetir el procedimiento

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García