Movimiento sobre una cúpula semiesférica

Una partícula de masa m desliza sin rozamiento por una cúpula convexa de radio R. Determinar el ángulo para el cual la partícula deja de tener contacto con la cúpula.

Como problema más avanzado, estudiaremos el movimiento de la partícula cuando la cúpula presenta un rozamiento al deslizamiento.

Movimiento sobre la cúpula semiesférica sin rozamiento

La partícula se encuentra inicialmente en reposo sobre el vértice de la cúpula, en una posición de equilibrio inestable. Cuando se desvía ligeramente de esta posición, la partícula desliza sin rozamiento, incrementando su velocidad hasta que llega un momento en el que deja de tener contacto con la cúpula. En este apartado, calcularemos la posición θ_c para la cual la reacción N de superficie semiesférica es nula.

Conservación de la energía

La energía de la partícula en la posición inicial θ=0, es

E_i=mgR

La energía de la partícula en la posición θ es

$E_{f} = \frac{1}{2} m v^{2} + m g R \cos θ$

Aplicando el principio de conservación de la energía E_i=E_f, podemos calcular la velocidad del móvil v en la posición θ

$v^{2} = 2 g R (1 - \cos θ) v = 2 \sqrt{g R} \sin (\frac{θ}{2})$

Dinámica

Las fuerzas que actúan sobre la partícula son

el peso mg
la reacción de la cúpula N.

La partícula describe un movimiento circular con aceleración tangencial a_t y aceleración normal a_n. Estas aceleraciones se determinan aplicando la segunda ley de Newton a un movimiento circular de radio R

Ecuación del movimiento en la dirección tangencial

mg·sinθ=ma_t

Ecuación del movimiento en la dirección normal

mg·cosθ-N=ma_n

La primera ecuación nos permite calcular la posición angular θ en función del tiempo t.

$R \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} = g \sin θ$

Que se resuelve por procedimientos numéricos. Si se establece las condiciones iniciales t=0, θ=0, dθ/dt=0. La partícula permanece todo el tiempo en esta posición de equilibrio inestable. Las condiciones iniciales serán t=0, θ=θ₀, dθ/dt=ω₀.Donde θ₀ es un pequeño ángulo y ω₀ es la velocidad angular de la partícula correspondiente a este ángulo, que se calcula aplicando el principio de conservación de la energía.

La segunda ecuación, junto al principio de conservación de la energía, nos permite calcular la reacción del plano N, en la posición θ

$N = m g \cos θ - m \frac{v^{2}}{R} N = 3 m g \cos θ - 2 m g$

La partícula deja de tener contacto con la cúpula cuando la reacción N se anule. Para el ángulo θ_ctal que

$\cos θ = \frac{2}{3}$

Aproximadamente, 48º medidos desde la vertical. Como vemos el ángulo límite es independiente del radio de la cúpula, de la masa de la partícula y de la aceleración de la gravedad g.

La velocidad de la partícula cuando alcanza en esta posición es

$v_{0}^{2} = \frac{2}{3} g R$

Nota: Si resolvemos la ecuación diferencial del movimiento, con las condiciones iniciales son θ₀=0, dθ/dt=0, la partícula permanece en dicha posición indefinidamente, ya que está es una situación de equilibrio inestable.

Para que se mueva, desviamos la partícula ligeramente de la posición de equilibrio: las condiciones iniciales que hemos tomado son θ₀=0.02 rad, y aplicamos el principio de conservación de la energía para calcular la velocidad angular inicial dθ/dt de la partícula en la posición de partida.

Movimiento bajo la aceleración constante de la gravedad

cupula2.gif (2332 bytes) Una vez que la partícula deja de tener contacto con la cúpula, se mueve bajo la acción de su propio peso, es decir, describe una trayectoria parabólica desde el punto de coordenadas

x₀=R·sinθ
y₀=R·cosθ .

Con velocidad inicial

$\begin{array}{l} v_{0 x} = v_{0} \cos θ \\ v_{0 y} = v_{0} \sin θ \end{array}$

Las ecuaciones del movimiento son

$\begin{array}{l} x = x_{0} + v_{0} \cos θ t \\ y = y_{0} - v_{0} \sin θ t - \frac{1}{2} g t^{2} \end{array}$

El punto de impacto sobre el suelo se calcula poniendo y=0 en la segunda ecuación, despejando el tiempo t, y sustituyéndolo en la primera.

Ejemplo:

Sea el radio de la cúpula es R=15 m. En el momento en el que la partícula deja de tener contacto con la cúpula N=0, su posición angular es cosθ= 2/3 y su velocidad es,

$v_{0} = \sqrt{\frac{2}{3} 9.8 \cdot 15} = 9.90 m/s$

Cuando llega al suelo y=0

$0 = 15 \cos θ - v_{0} \sin θ t - \frac{1}{2} 9.8 \cdot t^{2}$ . Se resuelve la ecuación de segundo grado t=0.86 s

Se calcula el alcance medido desde el centro de la cúpula

$x = 5 \cos θ + v_{0} \cos θ t = 16.90 m$

Actividades

Se introduce

El radio de la cúpula en m, actuando en la barra de desplazamiento titulada Radio.

Se pulsa el botón Empieza para observar el movimiento de la partícula.

Se puede parar el movimiento de la partícula cuando la reacción del plano N, es cero pulsando el botón titulado Pausa. ¿Qué ángulo se ha desplazado?. Para acercarnos a la posición deseada se pulsa sucesivamente el botón titulado Paso. Para continuar el movimiento se pulsa en el botón Continua.

A la izquierda del applet, se muestra el tiempo desde el momento en el que la partícula deja de tener contacto con la cúpula, describiendo un movimiento parabólico.

El círculo situado en la parte superior izquierda representa la energía total de la partícula, la porción de color rojo representa la energía cinética, y la porción azul, la energía potencial. Podemos observar que la energía potencial se va transformando en energía cinética, pero la suma de los valores de ambas clases de energía se mantiene constante a lo largo de la trayectoria de la partícula.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.