Fuerza entre dos esferas conductoras

Fuerza entre las dos esferas conductoras

La fuerza entre las dos esferas es la suma de las fuerzas entre cada par de cargas imagen una carga correspondiente a la primera esfera y la otra correspondiente a la segunda esfera

$F = \frac{1}{4 π ε_{0}} \sum_{i, j = 0}^{\infty} \frac{q_{i} q_{j}}{{(d - x_{j} - x_{i})}^{2}}$

Otra forma de calcular la fuerza es la siguiente.

El potencial V en la superficie de cada una de las dos esferas conductoras está producido por la carga en su centro q₀.

$V = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q_{0}}{R} = \frac{Q}{4 π ε_{0} R} (1 - β + \frac{β^{2}}{1 - β^{2}} - \frac{β^{3}}{1 - 2 β^{2}} + \frac{β^{4}}{1 - 3 β^{2} + β^{4}} - ...)$

Si tenemos un conjunto de N conductores cargados con carga Q_i y cuyo potencial en su superficie es V_i, la energía electrostática es

$U = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{N} Q_{i} V_{i}$

En el caso de dos conductores cargados con la misma carga Q y cuya superficie está al mismo potencial V

U=QV

La energía electrostática U es una función de la distancia d de separación de los centros de las dos esferas o bien, de β=R/d

La fuerza F se obtiene derivando la energía electrostática U respecto de la distancia d de separación de los centros de las dos esferas.

$F = - (\frac{\partial U}{\partial d}) = \frac{R}{d^{2}} (\frac{d U}{d β})$

En el artículo citado en las referencias se obtiene una expresión aproximada de F en potencias de β.

F=F_c(1-4β³-6β⁵+14β⁶-8β⁷+54β⁸-50β⁹+154β¹⁰-264β¹¹+494β¹²-1092β¹³+1830β¹⁴-4192 β¹⁵+7140β¹⁶-15894β¹⁷+28234β¹⁸-60320β¹⁹+112056β²⁰-230032β²¹+…

$F_{c} = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{Q^{2}}{d^{2}}$

que es la fuerza de repulsión entre dos cargas puntuales Q situadas a una distancia d.

En la figura, se compara la fuerza de repulsión ente dos cargas puntuales F_c (en azul), y el desarrollo en serie de la fuerza F entre dos esferas conductoras iguales en términos del parámetro β=R/d hasta el término 18, en rojo, para d>2.1R

Para la mayor parte de los experimentos escolares, en los que la separación de los centros de las esferas d>2.5R es suficiente el primer término corrector para estar de acuerdo con los resultados experimentales.

F≈F_c(1-4β³)

Cálculo aproximado de la fuerza de repulsión entre dos esferas

Para calcular la fuerza de repulsión entre dos esferas del mismo radio R y la misma carga Q, se emplea el siguiente procedimiento numérico.

El programa interactivo calcula las cargas imágenes q₀…q_n y sus posiciones x₀…..x_n correspondientes a la primera esfera, que son las misma que las de la segunda esfera pero en las posiciones d-x₀…..d-x_n, mediante las relaciones de recurrencia

$x_{n} = \frac{R^{2}}{d - x_{n - 1}} q_{n} = - \frac{R}{d - x_{n - 1}} q_{n - 1} n > 0 x_{0} = 0$

Se calcula la carga inicial q₀ teniendo en cuanta que la carga de cada esfera es Q.

$Q = \sum_{i = 0}^{n} q_{i}$

Se calcula la fuerza entre los dos conjuntos de cargas imágenes

$F_{n} = \frac{1}{4 π ε_{0}} \sum_{i, j = 0}^{n} \frac{q_{i} q_{j}}{{(d - x_{j} - x_{i})}^{2}}$

Se detiene el proceso iterativo cuando el cociente

$\frac{F_{n + 1} - F_{n}}{F_{n}} < ε$

es menor que una cantidad prefijada, cuyo valor tomaremos ε=10^-6.

El programa interactivo calcula la fuerza F en unidades F_u

$F_{u} = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{Q^{2}}{R^{2}}$

En estas unidades la fuerza F_c de repulsión entre dos cargas puntuales separadas una distancia d es

$F_{c} = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{Q^{2}}{d^{2}} = \frac{R^{2}}{d^{2}} = β^{2}$

Actividades

Se introduce

La distancia d>2R entre los centros de las esferas tomando como unidad su radio R, actuando en la barra de desplazamiento.

Se pulsa el botón titulado Calcular.

Se representa en color azul la fuerza de repulsión entre dos cargas puntuales cuando su separación d varía entre 2.0R y 10.0R.
Se proporciona el valor de la fuerza de repulsión entre dos esferas conductoras iguales cargadas con la misma carga, cuyos centros están separados una distancia d, en unidades F_u y se representa por un punto en la gráfica.

Para volver a empezar a tomar medidas se pulsa el botón titulado Nuevo.

El programa interactivo calcula la fuerza de repulsión entre las dos esferas conductoras para distancias entre sus centros mayores que 2.01R, e indica el número de cargas imagen necesarias para calcularla

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Referencias

Slisko J., Brito-Orta R. A., On approximate formulas for the electrostatic force between two conducting spheres. Am. J. Phys. 66 (4) April 1998, pp. 352-355.