El cuadripolo

Un cuadripolo es un sistema formado por tres cargas +2Q en el origen y –Q en los puntos (-d, 0) y (+d, 0).

El potencial en el punto P distante r₁ de la carga –Q, r₂ de la carga –Q y r de la carga +2Q es

$\begin{array}{l} V = \frac{Q}{4 π ε_{0}} (\frac{2}{r} - \frac{1}{r_{2}} - \frac{1}{r_{1}}) \\ r_{1} = r {(1 + \frac{2 d}{r} \cos θ + \frac{d^{2}}{r^{2}})}^{\frac{1}{2}} \\ r_{2} = r {(1 - \frac{2 d}{r} \cos θ + \frac{d^{2}}{r^{2}})}^{\frac{1}{2}} \end{array}$

Como r>>d podemos expresar de forma aproximada los cocientes r/r₁ y r/r₂.

$\begin{array}{l} \frac{r}{r_{1}} \approx 1 - \frac{d}{r} \cos θ + \frac{d^{2}}{2 r^{2}} (3 \cos^{2} θ - 1) \\ \frac{r}{r_{2}} \approx 1 + \frac{d}{r} \cos θ + \frac{d^{2}}{2 r^{2}} (3 \cos^{2} θ - 1) \end{array}$

El potencial se expresa en función de r y θ

$\begin{array}{l} V = \frac{Q}{4 π ε_{0}} \frac{1}{r} (2 - \frac{r}{r_{1}} - \frac{r}{r_{2}}) \approx \\ \frac{Q}{4 π ε_{0} r} (2 - [1 - \frac{d}{r} \cos θ + \frac{1}{2} (3 \cos^{2} θ - 1) \frac{d^{2}}{r^{2}} + 1 + \frac{d}{r} \cos θ + \frac{1}{2} (3 \cos^{2} θ - 1) \frac{d^{2}}{r^{2}}]) \\ V \approx \frac{Q}{4 π ε_{0}} \frac{d^{2}}{r^{3}} (3 \cos^{2} θ - 1) \end{array}$

Es interesante destacar, que el potencial debido a un cuadripolo disminuye con la inversa del cubo de la distancia r, mientras que para un dipolo disminuye como la inversa del cuadrado, y para una carga puntual disminuye con la inversa de r.

Las componentes del campo eléctrico E son

$\begin{array}{l} E_{r} = - \frac{\partial V}{\partial r} = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{3 Q d^{2}}{r^{4}} (3 \cos^{2} θ - 1) \\ E_{θ} = - \frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial θ} = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{3 Q d^{2}}{r^{4}} \sin (2 θ) \end{array}$

Actividades

Observar las líneas de fuerza (en color blanco) y las equipotenciales (en color azul claro) de un cuadripolo.

Las equipotenciales se han trazado de modo que su separación es de 10 unidades arbitrarias de energía potencial.

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