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Ley de Coulomb

Medida de la carga eléctrica

Tomamos un cuerpo con carga arbitraria Q y a una distancia d colocamos una carga q. Medimos la fuerza F ejercida sobre q. Seguidamente colocamos una carga q’ a la misma distancia d de Q, y medimos la fuerza F’ ejercida sobre q’.

Definimos los valores de las cargas q y q’ como proporcionales a las fuerzas F y F’.

${\displaystyle \frac{q}{q\text{'}}=\frac{F}{F\text{'}}}$

Si arbitrariamente asignamos un valor unitario a la carga q’, tenemos un medio de obtener la carga q.

En el Sistema Internacional de Unidades de Medida, la magnitud fundamental es la intensidad cuya unidad es el ampère o amperio, A, siendo la carga una magnitud derivada cuya unidad es el coulomb o culombio C.

La ley de Coulomb

Mediante una balanza de torsión, Coulomb encontró que la fuerza de atracción o repulsión entre dos cargas puntuales (cuerpos cargados cuyas dimensiones son despreciables comparadas con la distancia r que las separa) es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

${\displaystyle F=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{qq\text{'}}{r^2}}$

El valor de la constante de proporcionalidad depende de las unidades en las que se exprese F, q, q’ y r. En el Sistema Internacional de Unidades de Medida vale 9·10⁹ Nm²/C².

Obsérvese que la ley de Coulomb tiene la misma forma funcional que la ley de la Gravitación Universal

El electroscopio

El electroscopio consta de dos láminas delgadas de oro o aluminio A que están fijas en el extremo de una varilla metálica B que pasa a través de un soporte C de ebonita, ámbar o azufre. Cuando se toca la bola del electroscopio con un cuerpo cargado, las hojas adquieren carga del mismo signo y se repelen siendo su divergencia una medida de la cantidad de carga que ha recibido. La fuerza de repulsión electrostática se equilibra con el peso de las hojas.

Si se aplica una diferencia de potencial entre la bola C y la caja del mismo, las hojas también se separan. Se puede calibrar el electroscopio trazando la curva que nos da la diferencia de potencial en función del ángulo de divergencia.

Un modelo simplificado de electroscopio consiste en dos pequeñas esferas de masa m cargadas con cargas iguales q y del mismo signo que cuelgan de dos hilos de longitud d, tal como se indica la figura. A partir de la medida del ángulo θ que forma una bolita con la vertical, se calcula su carga q.

Sobre una bolita actúan tres fuerzas

• El peso mg
• La tensión de la cuerda T
• La fuerza de repulsión eléctrica entre las bolitas F

En el equilibrio

Tsinθ =F
Tcosθ =mg

• Conocido el ángulo θ se determina la carga q

Dividiendo la primera ecuación entre la segunda, eliminamos la tensión T y obtenemos

F=mg·tanθ

Midiendo el ángulo θ obtenemos la fuerza de repulsión F entre las dos esferas cargadas

De acuerdo con la ley de Coulomb $F=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{{\left(2d\sin \theta \right)}^2}$

Calculamos el valor de la carga q, si se conoce la longitud d del hilo que sostiene las esferas cargadas.

• Conocida la carga q se determina el ángulo θ

Eliminado T en las ecuaciones de equilibrio, obtenemos la ecuación

${\displaystyle {\sin }^3\theta =q^{2}k\cos \theta k=\frac{9}{4d^{2}mg}}$

La carga q está en  μC y la masa m de la bolita en g.

Expresando el coseno en función del seno, llegamos a la siguiente ecuación cúbica

${\displaystyle x^3+(x-1)k^2{q}^4=0x={\sin }^2\theta }$

El programa interactivo, calcula las raíces de la ecuación cúbica

En la figura, se muestra el comportamiento de un electroscopio, para cada carga q en μC tenemos un ángulo de desviación θ en grados, del hilo respecto de la vertical. Si se mide el ángulo θ en el eje vertical obtenemos la carga q en el eje horizontal.

Actividades

El programa interactivo genera aleatoriamente una carga q medida en μC, cada vez que se pulsa el botón titulado Nuevo.

A partir de la medida de su ángulo de desviación θ , en la escala graduada angular, se deberá calcular la carga q de la bolita resolviendo las dos ecuaciones de equilibrio.

Se introduce

• El valor de la masa m en gramos de la bolita, actuando en la barra de desplazamiento titulada Masa.
• La longitud del hilo está fijado d=50 cm.

Ejemplo:

Sea la masa m=50 g=0.05 kg, la longitud del hilo d=50 cm=0.5 m. Se ha medido el ángulo que hace los hilos con la vertical θ =22º, determinar la carga q de las bolitas.

La separación entre las cargas es x=2·0.5·sin(22º)=0.375 m

La fuerza F de repulsión entre las cargas vale

${\displaystyle F=9\cdot {10}^9\frac{q^2}{{0.375}^2}}$

De las ecuaciones de equilibrio

Tsin22º=F
Tcos22º=0.05·9.8

eliminamos T y despejamos la carga q, se obtiene 1.76·10^-6 C ó 1.76 μC.

Pulsando el botón titulado Gráfica podemos ver que a un ángulo de 22º en el eje vertical le corresponde una carga de aproximadamente 1.8 μC en el eje horizontal.

FluidoApplet1 aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Verificación de la ley de Coulomb

En el apartado anterior, se ha utilizado la ley de Coulomb para determinar la carga q de una pequeña esfera. En este apartado, se sugiere un experimento que permite verificar la ley de Coulomb.

Sea r₁ la separación de equilibrio entre dos pequeñas esferas iguales cargadas con la misma carga q.  La fuerza F₁ de repulsión vale, de acuerdo con la ley de Coulomb.

${\displaystyle F_1=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q·q}{r_1^2}}$

De la condiciones de equilibrio estudiadas en el apartado que describe el electroscopio,

Tsinθ ₁=F₁
Tcosθ ₁=mg

se establece la relación entre el peso de la esfera mg y la fuerza de repulsión, F₁=mg·tanθ₁

Si descargamos una de las dos esferas, y las ponemos a continuación en contacto con la esfera cargada con carga q. Cada una de las pequeñas esferas habrá adquirido una carga q/2. Las esferas se repelen, en el equilibrio su separación será menor r₂.

${\displaystyle F_2=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q·q}{4·r_2^2}}$

De la condiciones de equilibrio se tiene que, F₂=mg·tanθ₂

Dividiendo la primera expresión entre la segunda, llegamos a la siguiente relación

${\displaystyle \frac{\tan {\theta }_1}{\tan {\theta }_2}=4{\left(\frac{r_2}{r_1}\right)}^2}$

Midiendo los ángulos θ₁ y θ₂ y las separaciones entre las cargas r₁ y r₂ podemos verificar la ley de Coulomb.

Los ángulos θ son difíciles de medir, de modo que si los hilos de longitud d que sostienen las pequeñas esferas son largos para que los ángulos de desviación sean pequeños, podemos hacer la siguiente aproximación

${\displaystyle \tan \theta \approx \sin \theta =\frac{r}{2d}}$

La relación entre ángulos y separaciones se transforma en otra mucho más simple.

${\displaystyle \frac{r_1/2d}{r_2/2d}\approx 4{\left(\frac{r_2}{r_1}\right)}^2\frac{r_1}{r_2}\approx \sqrt[3]{4}}$

De este modo, midiendo solamente las separaciones r₁ y r₂ entre las cargas, en las dos situaciones mostradas en la figura, podemos verificar que se cumple la ley de Coulomb.

Referencias:

Wiley P.H., Stutzman W.L.. A simple experiment to demonstrate Coulomb's law. Am. J. Phys. 46 (11) November 1978, pp. 1131-1132.

Akinrimisi J. Note on the experimental determination of Coulomb's law. Am. J. Phys. 50 (5) May 1982, pp. 459-460

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García