Fuerza entre dos espiras

En la figura, se muestran dos espiras contenidas en planos paralelos de radio a y radio b separadas una distancia z. Las espiras conducen corrientes I_a e I_b, respectivamente.

Si las corrientes tienen el mismo sentido, la fuerza es atractiva y si tienen sentido contrario, la fuerza es repulsiva.

El campo magnético producido por la espira de radio a, tiene dos componentes, uno radial B_y y la otra axial B_z, y sus valores en la posición que ocupa la segunda espira de radio y=b es.

$\begin{array}{l} B_{y} = \frac{μ_{0} I_{a}}{2 π b} \frac{z}{\sqrt{{(a + b)}^{2} + z^{2}}} (- K (m) + \frac{a^{2} + b^{2} + z^{2}}{{(a - b)}^{2} + z^{2}} E (m)) \\ B_{z} = = \frac{μ_{0} I_{a}}{2 π b} \frac{1}{\sqrt{{(a + b)}^{2} + z^{2}}} (\frac{2 a^{2} b}{{(a - b)}^{2} + z^{2}} E (m) + b K (m) - b \frac{a^{2} + b^{2} + z^{2}}{{(a - b)}^{2} + z^{2}} E (m)) \\ m = \frac{4 a b}{{(a + b)}^{2} + z^{2}} \end{array}$

La fuerza que ejerce el campo magnético producido por la espira inferior de radio a, sobre la corriente que circula por la espira superior de radio b es

$F = I_{b} \oint (u_{t} \times B_{a}) \cdot d l_{b}$

Como apreciamos en la figura, la componente B_z del campo magnético produce sobre un elemento de corriente una fuerza F_y cuya dirección es radial. La fuerza neta sobre la espira es cero.

La componente radial B_ydel campo produce sobre un elemento de corriente dl_b=b·dθ una fuerza cuya dirección es a lo largo del eje Z

Positiva (repulsiva), si las corrientes tienen sentido contrario
Negativa (atractiva) si las corrientes tienen el mismo sentido (como en la figura)

$F_{z} = - I_{b} \oint (1 \cdot B_{y} \cdot \sin 90 º) \cdot b \cdot d θ = - 2 π B_{y} I_{b} b$

Introduciendo el valor de la componente radial B_y del campo magnético producido por la espira de radio a.

$\begin{array}{l} F_{z} = - μ_{0} I_{a} I_{b} \frac{z}{\sqrt{{(a + b)}^{2} + z^{2}}} (\frac{a^{2} + b^{2} + z^{2}}{{(a - b)}^{2} + z^{2}} E (m) - K (m)) \\ m = \frac{4 a b}{{(a + b)}^{2} + z^{2}} \end{array}$