Un oscilador eléctrico (potencial constante)

Cuando el potencial se mantiene constante la energía del condensador es

$\begin{array}{l} U = \frac{1}{2} C V^{2} = \frac{1}{2} C_{0} (1 + (k - 1) \frac{x}{a}) V^{2} \\ = U_{0} (1 + (k - 1) \frac{x}{a}) \end{array}$

La energía aumenta al introducirse el dieléctrico en el condensador, ya que la capacidad aumenta, hasta que alcanza un máximo k·U₀, cuando el dieléctrico ocupa el espacio entre las dos placas paralelas.

La razón por la que se incrementa la energía es doble:

1. Cuando se incrementa la capacidad la carga también se incrementa, la batería realiza un trabajo

2. El dieléctrico experimenta una polarización adicional

Cuando el dieléctrico sale, parte de la energía almacenada se envía a la batería, perdiendo parte de la carga que había adquirido

La gráfica de la energía en función de x, nos sugiere que la fuerza que actúa sobre el dieléctrico es constante y positiva cuando 0<x<a y que la fuerza es constante y negativa cuando el dieléctrico se encuentra en la posición a<x<2a.

En ambos casos el dieléctrico es empujado hacia la región entre las placas del condensador.

La fuerza F se obtiene

$F = {(\frac{d U}{d x})}_{V} = \pm U_{0} \frac{k - 1}{a}$

El signo positivo, para 0<x<a y el negativo para a<x<2a tal como podemos ver en la figura.

La carga Q de las placas del condensador cambia, aumenta cuando se introduce el dieléctrico en el condensador, y disminuye cuando sale del mismo.

$Q = C_{0} (1 + (k - 1) \frac{x}{a}) V$

La carga del condensador es máxima Q=k·C₀V cuando x=a, el dieléctrico está completamente introducido en el condensador, y es mínima cuando x=0, Q=C₀V, el dieléctrico está fuera del condensador.

La intensidad de la corriente i es

$i = \frac{d Q}{d t} = \frac{d C}{d x} \cdot \frac{d x}{d t}$

Fijémonos en el signo de la intensidad i.

Cuando 0<x<a y la velocidad v=dx/dt>0, la capacidad aumenta dC/dx>0. La intensidad de la corriente circula de la batería a las placas.
Cuando a<x<2a y la velocidad v=dx/dt>0, la capacidad disminuye dC/dx<0. La intensidad de la corriente circula de las placas a la batería (i<0).
Cuando a<x<2a y la velocidad v=dx/dt<0, la capacidad aumenta, pero dC/dx<0. La intensidad de la corriente circula de la batería a las placas (i>0).
Cuando 0<x<a y la velocidad v=dx/dt<0, la capacidad disminuye, pero dC/dx>0. La intensidad de la corriente circula de las placas a la batería (i<0).

Actividades

En este caso, el condensador no está aislado, sino que está conectado a una batería. La diferencia de potencial entre las placas V se mantiene constante, pero cambia la carga Q de las placas del condensador. A medida que se introduce el dieléctrico en condensador la energía electrostática U aumenta en vez de disminuir. La batería aporta la energía necesaria que luego, recupera cuando el dieléctrico sale del condensador.

Tenemos un oscilador, pero no es un oscilador armónico, ya que no describe un MAS, la fuerza no es proporcional al desplazamiento x, es de módulo constante pero cambia de sentido.

Elegimos una sustancia dieléctrica en una lista de sustancias

Se pulsa el botón titulado Empieza

Ejemplo:

En el programa interactivo, la longitud del condensador se ha fijado en a=10, y U₀=1 se ha tomado igual a la unidad. Por ejemplo, eligiendo el ámbar como sustancia dieléctrica k=2.8, la fuerza de atracción F vale

$F = \frac{2.8 - 1}{10} = 0.18$

Suponiendo que la masa de la pieza dieléctrica es la unidad m=1, el tiempo que tarda en introducirse completamente en el condensador es

$10 = \frac{1}{2} 0.18 t^{2} t = 10.5$

El tiempo que tarda en completar una oscilación es 4·t=42.2 unidades de tiempo.

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Referencias

Carnero C., Carretero J. A study on the physical behaviour of a dielectric slab inserted into a parallel-plate capacitor. Eur. J. Phys. 17 (1996) 220-225.