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Fuerza sobre un dieléctrico (I)

¿Por qué los objetos dieléctricos se mueven hacia los campos eléctricos más intensos?

En un condensador de plano-paralelo el campo no está confinado en el interior del condensador, sino que es intenso entre las placas y disminuye rápidamente fuera de las mismas. Si las placas están separadas una distancia pequeña en comparación con sus dimensiones, podemos considerar despreciable el campo fuera de las mismas.

Sin embargo, este campo no homogéneo es el responsable de la atracción que experimenta un dieléctrico que se acerca a las proximidades de un condensador cargado.

Un dieléctrico en un campo eléctrico presenta cargas inducidas en su superficie, negativas cerca de la placa positiva y positivas cerca de la placa negativa. Como vemos en la figura la carga inducida negativa (positiva) está más cerca de la placa positiva (negativa) de la placa del condensador, existe una fuerza neta sobre el cuerpo dieléctrico que lo arrastra hacia el interior del condensador.

Si mantenemos V constante (la batería permanece conectada al condensador). La energía del condensador cargado es

${\displaystyle U=\frac{1}{2}C{V}^2}$

Vamos a calcular fuerza sobre el dieléctrico

• Si V permanece constante, al introducir el dieléctrico su capacidad C aumenta y su energía U aumenta .

${\displaystyle F_x={\left(\frac{\partial U}{\partial x}\right)}_V=\frac{1}{2}{V}^2\frac{\partial C}{\partial x}}$

La fuerza actúa en el sentido en el que aumenta la energía del condensador.

• Si se mantiene la carga Q fija (la batería carga al condensador y luego se desconecta).

${\displaystyle U=\frac{1}{2}{\frac{Q}{C}}^2}$

Si mantenemos Q constante al introducir el dieléctrico C aumenta y U disminuye.

${\displaystyle F_x=-{\left(\frac{\partial U}{\partial x}\right)}_Q=\frac{Q^2}{2C^2}\frac{\partial C}{\partial x}}$

El signo negativo indica que la fuerza tiene el sentido en el que disminuye la energía almacenada en el condensador

Potencial constante

Vamos a considerar dos casos de un condensador conectado a una batería.

La superficie del dieléctrico es paralela a las líneas de campo eléctrico

Consideremos un condensador plano-paralelo cuyas armaduras son perpendiculares a la superficie de un dieléctrico líquido de constante dieléctrica k. Cuando introducimos el condensador en el recipiente que contiene el dieléctrico su superficie libre se eleva entre las placas del condensador, tal como se muestra en la figura.

Sean a y b la dimensiones de la placa rectangular, Si el dieléctrico está introducido una longitud x en el condensador su capacidad es la suma de las capacidades de dos condensadores uno de longitud x con dieléctrico y otro de longitud a-x en el vacío.

${\displaystyle C=\frac{k{\epsilon }_{0}bx}{d}+\frac{{\epsilon }_{0}b(a-x)}{d}}$

Si la diferencia de potencial en el condensador V permanece constante, entonces la fuerza vertical que se ejerce sobre la superficie libre del líquido dieléctrico, perpendicularmente a las líneas del campo es

${\displaystyle F_x={\left(\frac{\partial U}{\partial x}\right)}_V=\frac{1}{2}{V}^2\frac{\partial C}{\partial x}=\frac{{\epsilon }_0(k-1)b}{2d}{V}^2}$

Esta es la fuerza que hace que el líquido ascienda

En el equilibrio la fuerza que ejerce el campo eléctrico sobre el dieléctrico F_x se iguala al peso de la columna de líquido mg=ρ gbhd.

${\displaystyle h=\frac{{\epsilon }_0(k-1)}{2\rho g}{\left(\frac{V}{d}\right)}^2}$ (1)

La presión p que hace la columna de líquido de altura h es

${\displaystyle p=\frac{F_x}{bd}=\frac{{\epsilon }_0(k-1)}{2d^2}{V}^2=\frac{1}{2}{\epsilon }_0(k-1)E^2}$

Donde E=V/d es la intensidad del campo eléctrico entre las placas del condensador vacío.

La presión, en la superficie de separación entre dos medios dieléctricos es proporcional al cuadrado de la intensidad del campo eléctrico E.

Balance energético

La capacidad del condensador con dieléctrico aumenta, para que la diferencia de potencial entre las placas se mantenga constante en V, la batería tiene que suministrar carga al condensador. La batería suministra energía para incrementar la energía electrostática del condensador y a la vez, elevar el centro de masas del líquido dieléctrico en h/2.

En la situación inicial la energía asociada al campo eléctrico del condensador vacío es

${\displaystyle C_0=\frac{{\epsilon }_{0}ab}{d}{U}_0=\frac{1}{2}{C}_0{V}^2}$

En la situación de equilibrio, el condensador tiene en su interior una porción h de dieléctrico líquido. La energía asociada al campo eléctrico del condensador es

${\displaystyle \begin{array}{l}C=\frac{k{\epsilon }_{0}bh}{d}+\frac{{\epsilon }_{0}b(a-h)}{d}{U}_{\epsilon }=\frac{1}{2}C{V}^2\\ U_{\epsilon }=\frac{1}{2}\frac{{\epsilon }_0(k-1)b}{d}h{V}^2+\frac{1}{2}\frac{{\epsilon }_{0}ab}{d}{V}^2=\frac{1}{4}\frac{{\epsilon }_0^2{(k-1)}^{2}b}{\rho g{d}^3}{V}^4+\frac{1}{2}\frac{{\epsilon }_{0}ab}{d}{V}^2=\frac{1}{4}\frac{{\epsilon }_0^2{(k-1)}^{2}b}{\rho g{d}^3}{V}^4+U_0\end{array}}$

La porción h de dieléctrico que ha ascendido ha adquirido una energía potencial gravitatoria, su centro de masas se encuentra a h/2 de altura.

${\displaystyle U_g=\rho (bdh)g\frac{h}{2}=\frac{1}{2}\rho gbd{h}^2=\frac{1}{2}\rho gbd\frac{{\epsilon }_0^2{(k-1)}^2}{4{\rho }^2{g}^2}{\left(\frac{V}{d}\right)}^4=\frac{1}{8}\frac{{\epsilon }_0^2{(k-1)}^{2}b}{\rho g{d}^3}{V}^4}$

La energía suministrada por la batería será la diferencia entre la energía final U_g+U_ε y la energía inicial U₀.

${\displaystyle W=U_g+U_{\epsilon }-U_0=\frac{3}{8}\frac{{\epsilon }_0^2{(k-1)}^{2}bd}{\rho g}{\left(\frac{V}{d}\right)}^4}$

Actividades

El programa interactivo genera un valor aleatorio de la constante dieléctrica k entre 300 y 400, cada vez que se pulsa el botón titulado Nuevo.

• La distancia d entre las placas está fijada en el programa y su valor es 0.2 mm.
• La densidad ρ del fluido está también fijado en el programa y su valor es de 1.02 g/cm³.

Se introduce un valor de la diferencia de potencial V entre las placas del condensador, actuando sobre la barra de desplazamiento o directamente, en el control de edición titulado d. d. potencial.

Se pulsa en el botón titulado Conectar, que conecta una fem variable a las placas del condensador. El voltímetro situado en la parte superior del applet nos señala la diferencia de potencial seleccionada.

El programa interactivo calcula y representa la altura h en mm a la que se eleva el fluido dieléctrico, como consecuencia de la fuerza que ejerce el campo eléctrico E entre las placas del condensador. Los pares de datos (V, h) se guardan en el control área de texto situado a la izquierda del applet.

Pulsando el botón titulado Gráfica se representa los datos "experimentales" y la función h=h(V)  (1) que es una parábola que pasa por el origen.

En una experiencia real, se representaría la altura h en función del cuadrado de de V. Mediante el procedimiento de los mínimos cuadrados se determinaría la recta que mejor ajusta a los datos experimentales. Conocida la pendiente de la recta se determinaría la constante dieléctrica k.

En esta "experiencia" simulada, dado el valor de la diferencia de potencial V y de la altura h, podemos obtener la constante  k del dieléctrico.

Ejemplo:

Leemos en el voltímetro una diferencia de potencial de 80 V, y medimos la altura que se eleva el fluido dieléctrico en la regla graduada, h=25.97 mm.

${\displaystyle 25.97·{10}^{-3}=\frac{1}{4\pi ·9·{10}^9}\frac{k-1}{2·9.8·1.02·{10}^3}{\left(\frac{80}{2·{10}^{-4}}\right)}^{2}k=368}$

LineasApplet aparecerá en un explorador compatible JDK 1.1

La superficie del dieléctrico es perpendicular a las líneas de campo eléctrico

Consideremos un condensador plano-paralelo cuyas armaduras son paralelas a la superficie de un dieléctrico líquido de constante dieléctrica k. Cuando introducimos el condensador en el recipiente que contiene el dieléctrico su superficie libre se eleva entre las placas del condensador, tal como se muestra en la figura.

Según demostramos el campo eléctrico entre las placas de un condensador vacío es $\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}$ Cuando introducimos un dieléctrico el campo disminuye en una proporción k (constante dieléctrica) $\frac{\sigma }{k{\epsilon }_0}$ La representación del campo en función de la distancia vertical x contada desde la placa inferior se muestra en la figura.

La diferencia de potencial entre las placas del condensador es la suma de las áreas sombreadas (figura de la derecha)

${\displaystyle V=\frac{\sigma }{k{\epsilon }_0}x+\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}(d-x)\sigma =\frac{Q}{ab}}$

σ es la densidad de carga (coulomb por m²). La fórmula de capacidad del condensador C=Q/V es

${\displaystyle C=\frac{k{\epsilon }_{0}ab}{x+kd-kx}}$

La misma expresión de la capacidad C, podía haberse obtenido considerando el condensador como la agrupación de dos condensadores en serie, uno de espesor x con dieléctrico y otro de espesor d-x sin dieléctrico.

Calculamos la energía U, y a continuación la fuerza F derivando respecto de x. Haciendo operaciones, de forma similar al ejemplo anterior, obtenemos la presión debida a la columna de fluido de altura h, en la superficie del dieléctrico

${\displaystyle p=\frac{F}{S}={\epsilon }_0\left(1-\frac{1}{k}\right)E^{2}E=\frac{V}{d}}$

Carga constante

Un condensador de placas paralelas está fijado en posición vertical, su parte inferior está en contacto con un dieléctrico líquido. Determinar la altura h del líquido entre las placas, despreciando los efectos capilares, y suponiendo que la distancia d entre las placas es mucho menor que las dimensiones lineales de las mismas.

La energía inicial del condensador cargado es

${\displaystyle U_0=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C_0}{C}_0=\frac{{\epsilon }_{0}ab}{d}}$

donde a (vertical) y b (horizontal) son las dimensiones de las placas rectangulares cargadas con una carga Q.

Cuando las placas entran en contacto con el dieléctrico líquido se ejerce una fuerza vertical sobre el mismo. La carga Q permanece constante. La disminución de la energía electrostática se compensa con el incremento de la energía potencial gravitatoria ya que no hay energía transferida al sistema desde el exterior.

Calculamos la capacidad C del condensador con una porción h de dieléctrico y su energía U_ε.

${\displaystyle \begin{array}{l}C=\frac{{\epsilon }_{0}kbh}{d}+\frac{{\epsilon }_{0}b(a-h)}{d}\\ U_{\epsilon }=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}\end{array}}$

La energía potencial gravitatoria de la porción de fluido es

${\displaystyle U_g=\rho \left(bdh\right)g\frac{h}{2}=\frac{1}{2}\rho bdg{h}^2}$

Aplicamos el principio de conservación de la energía

U₀= U_ε+U_g

${\displaystyle h^2+\frac{a}{(k-1)}h-\frac{Q^2}{\rho g({\epsilon }_{0}a{b}^2)}=0}$

El campo eléctrico del condensador vacío es

${\displaystyle E_0=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}=\frac{Q}{{\epsilon }_{0}ab}}$

donde σ es la densidad de carga de cada una de las placas en C/m².

${\displaystyle \begin{array}{l}{h}^2+\frac{a}{(k-1)}h-\frac{{\epsilon }_0{E}_0^{2}a}{\rho g}=0\\ h=\frac{1}{2}\frac{a}{(k-1)}\left(-1+\sqrt{1+\frac{4{\epsilon }_0{E}_0^2{(k-1)}^2}{\rho ga}}\right)\end{array}}$

Habitualmente, la altura h de dieléctrico en el condensador es mucho menor que la altura a de las placas.

${\displaystyle h\approx \frac{{\epsilon }_0(k-1)}{\rho g}{E}_0^2}$

 

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García