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Fuerza sobre un dieléctrico (II)

Un trozo de material dieléctrico que se acerca a una región donde hay un campo eléctrico no uniforme experimenta una fuerza de atracción hacia la zona donde el campo eléctrico es más intenso.

Para observar de forma directa la fuerza sobre el dieléctrico se diseña el siguiente “experimento”:

Un portaobjetos de vidrio es atraído hacia el interior de un condensador formado por dos placas paralelas. El portaobjetos está colgado de una larga cuerda, de modo que su desplazamiento x hacia el interior del condensador, nos da una medida de la fuerza sobre el dieléctrico.

Las placas del condensador de forma cuadrada tienen una dimensión de b=11.5 cm, están separadas una distancia d=2 mm y están conectadas a una fuente de modo que la diferencia de potencial entre las placas puede variar entre 1000 y 3000 V.

El portaobjetos de vidrio tiene un espesor t=1 mm, una altura de a=7.5 cm, una masa de m=4.37 g, y una constante dieléctrica k=5.

El portaobjetos está sujeto por una larga cuerda de modo que la distancia entre su centro y el punto de suspensión es de l=1.34 m.

En la experiencia real (véase el artículo citado en las referencias), la fuente suministra una diferencia de potencial alterna, debido a que con corriente continua las superficies del portaobjetos se polarizan y se pegan inmediatamente a una u otra placa del condensador.

Campo eléctrico

Supondremos que el campo eléctrico en el interior del condensador plano-paralelo vacío E0=V/d es constante y perpendicular a las placas, y es despreciable fuera del condensador.

Cuando el dieléctrico se ha introducido una distancia x entre las placas del condensador, el campo en la región rectangular de dimensión a de alto y x de ancho cambia.

En la figura, se representa el campo eléctrico en dicha región en función de la distancia z a una de las placas. En el interior del dieléctrico, el campo se reduce a E/k, (k es la constante dieléctrica del material) y fuera del dieléctrico el campo es E. La suma de las áreas de los dos rectángulos es la diferencia de potencial constante V.

V= E k t+E(d−t)  E= V d−(1−1/k)t = V d−(1− k −1 )t

Energía electrostática

Para hallar la energía electrostática dividimos el volumen del condensador en tres zonas.

U 1 =( 1 2 ε 0 E 0 2 )( b 2 −a·x)d= 1 2 ε 0 V 2 b 2 −ax d

La región de área ax y espesor d, está dividida en dos partes:

U 2 =( 1 2 ε 0 E 2 )ax·(d−t)= 1 2 ε 0 ( V d−(1− k −1 )t ) 2 ax·(d−t)

U 3 =( 1 2 k ε 0 E 2 k 2 )ax·t= 1 2 ε 0 ( V d−(1− k −1 )t ) 2 ax·t k

La energía electrostática total U es la suma de las tres contribuciones U=U1+U2+U3.

Fuerza sobre el dieléctrico

Como la diferencia de potencial V se mantiene constante mientras se introduce el dieléctrico en el condensador. La fuerza sobre el portaobjetos es

F= ( ∂U ∂x ) V =− 1 2 ε 0 V 2 a d + 1 2 ε 0 V 2 a d−(1− k −1 )t

Equilibrio del portaobjetos

El portaobjetos está en equilibrio bajo la acción de las siguientes fuerzas:

Como consecuencia, el hilo se desvía de la vertical un ángulo θ.

T·sinθ=F
T·cosθ=mg

El desplazamiento x del portaobjetos es

sin⁡θ= x l   tanθ= F mg

Como la distancia entre le centro del portaobjetos y el punto de suspensión l es muy grande comparado con el desplazamiento x del portaobjetos, el ángulo θ es pequeño,

sin⁡θ≈tan⁡θ  x= F·l mg

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Conectar

Se observa el desplazamiento x del portaobjetos hacia el interior del condensador, y se mide en la escala graduada en cm.

Datos que se mantienen fijos en el programa interactivo son:

Cuando V=2000 V

F= 1 2 1 4π·9· 10 9 2000 2 ( − 0.075 0.002 + 0.075 0.002−(1− 1 5 )0.001 )=4.42· 10 −4  N

El ángulo θ de desviación de la cuerda de su posición inicial es

tan⁡θ= 4.42· 10 −4 4.37· 10 −3 ·9.8   θ=0.59º

La desviación x es

x=l·sinθ=134·sin0.59º=1.38 cm

LineasApplet aparecerá en un explorador compatible JDK 1.1

Referencias

Benenson R. E. Direct observation of the force on a dielectric. Am. J. Phys. 59 (8) August 1991, pp. 763-764

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