Circuitos acoplados. Coeficiente de inducción mutua

anillo_13.gif (3595 bytes) Consideremos dos circuitos acoplados formados por una bobina y una espira que tienen el mismo eje y están situadas en planos paralelos separados una distancia z. La bobina está formada por N espiras apretadas de radio a, y la espira tiene un radio b.

La bobina constituye el primario de nuestro circuito acoplado, por el que va a circular una corriente alterna de frecuencia angular ω y intensidad I₁.

I₁=I₀₁·sin(ω t).

Queremos calcular la intensidad I₂ que circulará por la espira (secundario) sabiendo que su resistencia es R.

Para calcular el coeficiente de inducción mutua M de dos circuitos acoplados, hemos de seguir los siguientes pasos:

Calcular el campo magnético producido por el primario,
Hallar el flujo del campo magnético producido por el primario a través del secundario
Obtener la expresión del coeficiente de inducción mutua, dividiendo dicho flujo entre la intensidad que circula por el primario.

El primer paso requiere aplicar la ley de Biot-Savart para determinar el campo magnético producido por una espira .

$\begin{array}{l} B_{y} = \frac{μ_{0}}{2 π} i a \cdot z \int_{- π / 2}^{π / 2} \frac{\sin φ}{{(\sqrt{a^{2} + z^{2} + y^{2} - 2 a y \cdot \sin φ})}^{3}} d φ \\ B_{z} = \frac{μ_{0}}{2 π} i a \int_{- π / 2}^{π / 2} \frac{a - y \cdot \sin φ}{{(\sqrt{a^{2} + z^{2} + y^{2} - 2 a y \cdot \sin φ})}^{3}} d φ \end{array}$

Flujo del campo magnético a través del secundario

Sea I₁ la corriente que circula por el primario. Calculamos el flujo del campo magnético producido por el primario a través del área encerrada por la espira de radio b (secundario).

$Φ_{2} = \int_{S} B \cdot d S = \int_{S} (B_{y} \hat{j} + B_{z} \hat{k}) \cdot d S \hat{k} = \int_{S} B_{z} \cdot d S$

anillo_6.gif (4005 bytes)

Dado que el plano de la espira es perpendicular al eje Z, el flujo de la componente Y del campo es nulo.

El elemento diferencial de área es el área de un anillo de radio y y de anchura dy, su área es dS=2π y·dy

$Φ_{2} = μ_{0} N \cdot I_{1} a \int_{0}^{b} y \cdot d y \int_{- π / 2}^{π / 2} \frac{a - y \cdot \sin φ}{{(\sqrt{a^{2} + z^{2} + y^{2} - 2 a y \cdot \sin φ})}^{3}} d φ$

Coeficiente de inducción mutua

Se define coeficiente de inducción mutua M como el cociente entre el flujo que atraviesa el secundario Φ₂ entre la intensidad que circula por el primario I₁.

$M = \frac{Φ_{2}}{I_{1}} = μ_{0} N a \int_{0}^{b} y \cdot d y \int_{- π / 2}^{π / 2} \frac{a - y \cdot \sin φ}{{(\sqrt{a^{2} + z^{2} + y^{2} - 2 a y \cdot \sin φ})}^{3}} d φ$

Si la espira está alejada de la bobina, podemos obtener una expresión aproximada para M siempre que se cumpla que

$\begin{array}{l} r = \sqrt{y^{2} + z^{2}} > > a \\ Φ_{2} = \int_{0}^{b} \frac{μ_{0} N \cdot I_{1} a^{2}}{4 r^{3}} (\frac{3 z^{2}}{r^{2}} - 1) \cdot 2 π y \cdot d y \cdot \\ Φ_{2} = \frac{π μ_{0} N \cdot I_{1} a^{2}}{4} (3 z^{2} \int_{0}^{b} \frac{2 y d y}{{(\sqrt{y^{2} + z^{2}})}^{5}} - \int_{0}^{b} \frac{2 y d y}{{(\sqrt{y^{2} + z^{2}})}^{3}}) \end{array}$

La expresión del coeficiente de inducción mutua M es

$M = \frac{Φ_{2}}{I_{1}} = \frac{π μ_{0} N a^{2} b^{2}}{2 {(\sqrt{b^{2} + z^{2}})}^{3}}$

Ya hemos visto como se puede calcular el coeficiente de inducción mutua entre dos circuitos. Ahora emplearemos la fórmula alternativa.

$M = \frac{μ_{0}}{4 π} ∯ \frac{d l_{1} \cdot d l_{2}}{r}$

donde dl₁ es un elemento del primer circuito, dl₂ es un elemento del segundo circuito y r es la distancia entre ambos elementos. (Véase Lorrain P., Corson D. R.. Campos y Ondas Electromagnéticas, Selecciones Científicas, págs 366-367).

Como vemos en la figura, el elemento de corriente es un arco infinitesimal de circunferencia (arco igual a radio por ángulo comprendido) dl₁= r₁·dθ₁ y dl₂= r₂·dθ₂

Las componentes de los vectores dl₁ y dl₂ son

dl₁= r₁·dθ₁(-sinθ₁i+cosθ₁ j)
dl₂= r₂·dθ₂(-sinθ₂i+cosθ₂ j)

El vector r que tiene por origen el punto A (r₁·cosθ₁, r₁·sinθ₁, 0) y extremo el punto B (r₂·cosθ₂, r₂·sinθ₂, z),

r=(r₂·cosθ₂-r₁·cosθ₁)i+(r₂·sinθ₂-r₁·sinθ₁)j+zk

Su módulo, o la distancia r entre dichos elementos de corriente es

$r = \sqrt{{(r_{2} \cos θ_{2} - r_{1} \cos θ_{1})}^{2} + {(r_{2} \sin θ_{2} - r_{1} \sin θ_{1})}^{2} + z^{2}}$

Tenemos que calcular la integral doble

$M = \frac{μ_{0}}{4 π} r_{1} r_{2} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (θ_{2} - θ_{1}) d θ_{1} d θ_{2}}{\sqrt{r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - 2 r_{1} r_{2} \cos (θ_{2} - θ_{1}) + z^{2}}}$

Si el circuito primario consta de N₁ espiras iguales apretadas, y el circuito secundario consta de una sola espira, el coeficiente de inducción mutua es

$M = \frac{μ_{0}}{4 π} N_{1} r_{1} r_{2} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (θ_{2} - θ_{1}) d θ_{1} d θ_{2}}{\sqrt{r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - 2 r_{1} r_{2} \cos (θ_{2} - θ_{1}) + z^{2}}}$

El coeficiente de inducción mutua entre dos espiras de radios a y b, coaxiales y distantes z, se puede expresar en términos de las integrales elípticas completas de primera K(m) y segunda especie E(m), mediante la fórmula que damos sin demostración.

$\begin{array}{l} M = \frac{1}{2} μ_{0} \sqrt{{(a + b)}^{2} + z^{2}} ((2 - m) K (m) - 2 E (m)) \\ m = \frac{4 a b}{{(a + b)}^{2} + z^{2}} \end{array}$

Si en vez de espiras, son bobinas de espiras apretadas de N_a y N_b vueltas se multiplica el coeficiente de inducción mutua de dos espiras por el producto N_a·N_b.

Actividades

Se introduce

El radio a, actuando en la barra de desplazamiento titulada Radio a
El radio b, actuando en la barra de desplazamiento titulada Radio b
La distancia z entre las dos espiras, en el control de edición titulado Distancia

Se pulsa en el botón titulado Calcular

El programa interactivo calcula el coeficiente de inducción mutua M en unidades de μ₀=4π·10^-7 en términos de las integrales elípticas completas

ForzadasApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Ley de Faraday

La corriente alterna que circula por el solenoide produce un campo magnético que varía con el tiempo. El flujo Φ₂ de dicho campo a través del anillo es

Φ₂=M·I₁

donde M es el coeficiente de inducción mutua del sistema formado por el solenoide y el anillo, I₁ es de la intensidad de la corriente en el solenoide que varía con el tiempo de la forma

I₁=I₀₁·sin(ω t)

Donde I₀₁ es la amplitud y ω frecuencia angular ω =2π f. En Europa f=50 Hz y en Estado Unidos f=60 Hz.

Aplicando la ley de Faraday, se obtiene la fem inducida V_ε en el anillo como resultado del cambio del flujo que lo atraviesa con el tiempo. Aplicando la ley de Lenz, se determina el sentido de la corriente inducida.

$V_{2} = - \frac{d Φ_{2}}{d t} = - \frac{d (M \cdot I_{1})}{d t} - M \cdot I_{01} ω \cos (ω t)$

La corriente inducida I₂ en la espira de resistencia R es

$I_{2} = \frac{V_{2}}{R} = - \frac{M}{R} I_{01} ω \cos (ω t)$

Actividades

En la simulación tenemos dos circuitos acoplados

El circuito primario es una bobina formada por N=100 espiras de radio a=3.5 cm de radio
El circuito secundario es una espira de radio b que está situada a una altura z sobre la bobina.

Se introducen los siguientes datos relativos a la corriente que circula por el primario.

La frecuencia f en Hz en el control de edición titulado Frecuencia. Recordar que la frecuencia angular vale ω =2π f
La amplitud de la intensidad I₀₁ en amperios en el control de edición titulado Intensidad.
La resistencia de la espira se obtiene aplicando la fórmula

$R = ρ \frac{l}{S}$

Para una espira de radio b, hecha de un cable de aluminio de resistividad ρ =2.8·10^-8 ω ·m cuya sección es de 5 mm de radio

R=2.24·10^-3b ω .

La resistencia se ha elegido, de modo que la intensidad de la corriente en la espira (secundario) sea del mismo orden de magnitud que la corriente en la bobina (primario).

A continuación, los datos relativos a la espira (secundario)

Su radio b en cm en el control de edición titulado Radio.
La distancia z en cm entre los planos de la espira y de la bobina en el control de edición titulado Distancia.

Se pulsa el botón titulado Empieza.

Podemos ver la corriente en la bobina (primario) representada por el movimiento de puntos de color azul.
La corriente inducida en la espira (secundario) representada por el movimiento de los puntos de color rojo.

Se representa las componentes del campo magnético B_y y B_z en los siguientes puntos (0, z), (b/2, z) y (-b/2, z), mediante flechas de color azul.

Se representa la corriente en la bobina (primario) y la corriente inducida en la espira (secundario) en función del tiempo en la parte derecha del applet.

En la parte superior del applet, se muestra el valor del coeficiente de inducción mutua M.

Se sugiere al lector que compruebe la ley de Lenz. El sentido de la corriente inducida cada cuarto de periodo.

Ejemplo 1

Si el radio de la espira b=3.5 cm y la distancia z=5 cm el coeficiente de inducción mutua vale M=9.67·10^-7 H. La resistencia de la espira vale

R=2.24·10^-3·0.035=7.84·10^-5 ω

Si por el primario circula una corriente de frecuencia f=50 Hz y la amplitud de la intensidad vale I₀₁=10 A. La intensidad inducida que circula por la espira (secundario) es

$I_{2} = - \frac{9.67 \cdot 10^{- 7}}{7.84 \cdot 10^{- 5}} 2 π \cdot 50 \cdot 10 \cdot \cos (2 π \cdot 50 \cdot t)$

La amplitud de la intensidad inducida es I₀₂=38.7 A

Ejemplo 2:

La espira tiene un radio b pequeño y está alejada de la bobina

Por ejemplo b=1 cm y z=10 cm.

El coeficiente de inducción mutua podemos calcularlo por la fórmula aproximada

$M = \frac{π μ_{0} N a^{2} b^{2}}{2 {(\sqrt{b^{2} + z^{2}})}^{3}} = \frac{π \cdot 4 \cdot π \cdot 10^{- 7} \cdot 100 \cdot {(0.035)}^{2} \cdot {(0.01)}^{2}}{2 {(\sqrt{{0.01}^{2} + {.035}^{2}})}^{3}} = 2.38 \cdot 10^{- 8} H$

Mediante cálculo numérico, empleando integrales elípticas, el valor que obtenemos es de 2.01·10^-8 H

La resistencia de la espira es

R=2.24·10^-3·0.01=2.24·10^-5 ω

Si por el primario circula una corriente de frecuencia f=50 Hz y la amplitud de la intensidad vale I₀₁=10 A.

La intensidad inducida que circula por la espira (secundario) es

$I_{2} = - \frac{2.01 \cdot 10^{- 8}}{2.24 \cdot 10^{- 5}} 2 π \cdot 50 \cdot 10 \cdot \cos (2 π \cdot 50 \cdot t)$

La amplitud de la intensidad inducida es I₀₂=2.82 A

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