Resonancia en un circuito LCR en serie
La condición de resonancia la estudiamos en las oscilaciones forzadas de una masa unida a un muelle elástico.
La potencia suministrada por el generador de corriente alterna es
P=i·v=V0·I0sin(ω t)·sin(ω t-φ )
P=V0·I0sin(ω t)·(sin(ω t)·cos φ - cos(ω t)·sinφ)=V0·I0(sin2(ω t)·cos φ - sin(ω t)·cos(ω t)·sinφ)
Esta magnitud es una función complicada del tiempo que no es útil desde el punto de vista práctico. Lo que tiene interés es el promedio de la potencia en un periodo 2π /ω .
<P>=V0·I0(<sin2(ω t)>·cos φ - <sin(ω t)·cos(ω t)>·sinφ)
Se define como valor medio <f(t)> de una función periódica f(t) de periodo T a la integral
El periodo de la función f(t)=sin2(ω t) es T=π/ω, su valor medio es
<sin2(ω t)>=1/2
El área de color rojo es igual al área de color azul.
El periodo de la función f(t)=sin(ω t)·cos(ω t)=sin(2ω t)/2 es T=π/ω, su valor medio es
<sin(ω t)·cos(ω t)>=0
como puede comprobarse fácilmente
El valor medio de la energía por unidad de tiempo, o potencia suministrada por el generador es
El último término, cosφ se denomina factor de potencia.
El valor de <P> es máximo cuando el ángulo de desfase φ es cero, para ello se tiene que cumplir que
es decir, la frecuencia ω del generador de corriente alterna debe coincidir con la frecuencia natural o propia ω0 del circuito oscilante.
Cuando ω =ω0 se cumple que
- La intensidad de la corriente I0 alcanza su valor máximo
- La intensidad de la corriente en el circuito i y la fem v están en fase
- La energía por unidad de tiempo <P> suministrada por el generador es máxima
Actividades
En el applet se introducen los siguientes datos:
- Resistencia en Ω
- Capacidad en μF (10-6 F)
- Autoinducción en mH (10-3 H)
Se escoge la magnitud que deseamos representar en función del cociente ω /ω0
- Potencia <P>
- Amplitud de la intensidad I0
- Desfase φ entre la intensidad y la fem del generador
Representación de la potencia <P>
En la representación de la potencia <P> observamos que cuando la frecuencia del generador ω coincide con la frecuencia de resonancia ω0 la potencia alcanza un máximo.
Se representa también el intervalo de frecuencias Δω para los cuales la potencia es mayor que la mitad de la máxima. La agudeza de la curva de resonancia se describe mediante un parámetro adimensional denominado factor de calidad Q0 que se define como el cociente entre la frecuencia angular de resonancia ω0 y el ancho de la curva de resonancia Δω
Manteniendo fijos los valores de la capacidad del condensador y de la autoinducción de la bobina, se modifica el valor de la resistencia R. ¿Cómo cambia la curva de resonancia?.
Representación de la amplitud de la intensidad
La amplitud de la intensidad I0 adquiere un valor máximo cuando la frecuencia del generador ω coincide con la frecuencia de resonancia ω0. El valor de la impedancia Z es mínimo y vale Z=R.
Manteniendo fijos los valores de la capacidad del condensador y de la autoinducción de la bobina, se modifica el valor de la resistencia R. ¿Cómo cambia la curva que representa la amplitud en función del cociente ω /ω0?
Representación del desfase entre la intensidad y la fem
El desfase entre la intensidad y la fem se hace cero cuando la frecuencia del generador ω coincide con la frecuencia de resonancia ω0.
- La intensidad y la fem están en fase a esta frecuencia
- La diferencia de fase cambia de signo, cuando la frecuencia ω es mayor que la frecuencia de resonancia ω0, y aumenta rápidamente cuando nos alejamos de dicha frecuencia, sobre todo si la resistencia es pequeña.
Manteniendo fijos los valores de la capacidad del condensador y de la autoinducción de la bobina, se modifica el valor de la resistencia R. ¿Cómo cambia la curva que representa la diferencia de fase en función del cociente ω/ω0?