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Un gas ideal formado por una sola partícula

En esta página, hemos deducido la ecuación de la transformación adiabática a partir de un modelo simple. El modelo consiste en un conjunto muy grande de partículas que se mueven en el interior del recipiente y chocan elásticamente con una pared móvil. Se han relacionado magnitudes microscópicas como el momento lineal y la energía cinética de las partículas con parámetros macroscópicas como la presión y la temperatura.

Movimiento de la partícula

Consideremos una partícula que se mueve libremente entre una pared fija situada en x=0, y una pared móvil situada inicialmente en la posición x0 en el instante t=0.

La pared móvil se mueve con velocidad constante u hacia la pared fija.

La posición de la pared móvil en el instante t es x=x0-u·t

Primer choque:

La partícula parte en el instante t=0, de la posición x0, y se mueve hacia la pared fija con velocidad constante v0. Choca con la pared fija cambiando el sentido de su velocidad y se dirige al encuentro de la pared móvil, que se produce en el instante t1.

t 1 = 2 x 0 u+ v 0

La posición de la pared móvil en dicho instante es x1=x0-u·t1

Segundo choque:

Después del choque, la velocidad de la partícula es v1=v0+2u y se dirige hacia la pared fija. Choca con la pared fija, cambiando el sentido de su velocidad y se dirige al encuentro de la pared móvil, que se produce en el instante t2.

t 2 = t 1 + 2 x 1 u+ v 1

La posición de la pared móvil en dicho instante es x2=x0-u·t2

Tercer choque:

Después del choque, la velocidad de la partícula es v2=v1+2u=v0+2(2u) y se dirige hacia la pared fija. Choca con la pared fija, cambiando el sentido de su velocidad y se dirige al encuentro de la pared móvil, que se produce en el instante t3.

t 3 = t 2 + 2 x 2 u+ v 2

La posición de la pared móvil en dicho instante es x3=x0-u·t3

Choque n+1:

Después del choque n la velocidad de la partícula es vn=vn-1+2u=v0+n(2u) y se dirige hacia la pared fija. Choca con la pared fija, cambiando el sentido de su velocidad y se dirige al encuentro de la pared móvil, que se produce en el instante tn+1.

t n+1 = t n + 2 x n u+ v n

La posición de la pared móvil en dicho instante es xn+1=x0-u·tn+1

La velocidad de la partícula va creciendo, con el número n de choques, alcanzando el valor

vn =v0+2nu

El desplazamiento de la pared móvil entre dos choques sucesivos que se producen en los instantes tn y tn+1 es

x n+1 x n = x 0 u( t n + 2 x n u+ v n )( x 0 u t n )= 2 x n u u+ v 0 +2nu x n+1 x n = 2 x n (2n+1)+ v 0 /u

De la formulación discreta a la continua.

El parámetro macroscópico observable es la posición x de la pared móvil o el volumen del recipiente que contiene la partícula. Expresaremos la fuerza que ejerce la pared sobre la partícula, el trabajo y la energía cinética de la partícula en función de x.

Como x es una función de n podemos escribir de forma aproximada

dx(n) dn = 2x(n) (2n+1)+ v 0 /u

Separando variables e integrando

x 0 x dx 2x = 0 n dn (2n+1)+ v 0 /u 1 2 ln x x 0 = 1 2 ln 2n+1+ v 0 /u 1+ v 0 /u

Despejando x

x= x 0 (1+ v 0 /u) 2n+1+ v 0 /u

El desplazamiento Δx de la pared móvil durante el intervalo de tiempo entre dos choques consecutivos es

x n+1 x n Δx= 2x 2n+1+ v 0 /u

La posición x de la pared móvil es función del número de choques n. La velocidad de la partícula v es también función del número de choques n, v=v0+2nu. Podemos expresar la velocidad v de la partícula en función de la posición x de la pared móvil

v=(u+ v 0 ) x 0 x u

Podemos expresar, igualmente el desplazamiento Δx en función de x

Δx= 2xu v+u = 2 x 2 u (u+ v 0 ) x 0

A partir de la expresión de x en función del número n de choques, despejamos n y derivamos respecto del tiempo.

2 dn dt = x 0 (1+ v 0 /u) x 2 dx dt

Teniendo en cuenta que dx/dt=-u, la frecuencia f de los choques (número de choques en la unidad de tiempo) es

f= dn dt = x 0 (u+ v 0 ) 2 x 2

El incremento de la frecuencia entre los choques se debe a dos causas:

Trabajo de la fuerza F que ejerce la pared móvil

Antes del choque la velocidad de la partícula es –v

Después del choque la velocidad de la partícula es v+2u

El cambio de momento lineal en cada choque es  m(v+2u)-m(-v)=2m(u+v)

La fuerza F que ejerce la pared móvil se emplea en cambiar el momento lineal p de la partícula F=dp/dt. La fuerza F es el producto de la frecuencia de los choques por el cambio de momento lineal en cada choque.

F=2m(u+v)f=m (u+ v 0 ) 2 x 0 2 x 3

El trabajo de la fuerza F cuando la pared móvil se desplaza Δx es

F·Δx=m (u+ v 0 ) 2 x 0 2 x 3 · 2 x 2 u (u+ v 0 ) x 0 =2mu(u+ v 0 ) x 0 x  

La variación de energía cinética en un choque es

Δ E k = 1 2 m ( v+2u ) 2 1 2 m v 2 =2mu(u+ v 0 ) x 0 x

El trabajo de de la fuerza F se invierte en incrementar la energía cinética de la partícula.

-F·ΔxEk

Relación entre las magnitudes microscópicas y los parámetros macroscópicos.

La energía cinética está relacionada con la temperatura, la fuerza con la presión y la posición de la pared móvil con el volumen del recipiente. Sustituimos:

-p·dV=k·dT

La ecuación de estado de los gases ideales relaciona, presión p, el volumen V y temperatura absoluta T.

nRT V dV=kdT dT T +(γ-1) dV V =0

Integrando miembro a miembro, obtenemos la ecuación de una transformación adiabática.

T V γ1 =cteP V γ =cte

donde γ al igual que k son constantes.

Actividades

Se introduce

Se pulsa en el botón titulado Empieza

Se observa el movimiento de la partícula. En la parte superior izquierda, se proporciona el dato de la velocidad v de la partícula en cada instante t.

En la parte superior del applet, se representan en dos gráficas la velocidad v de la partícula en función de la posición x del émbolo móvil.

v=(u+ v 0 ) x 0 x u

Referencias

Miranda E. N. Adiabatic reversible compression: a molecular view. Eur. J. Phys. 23 (2002), pp. 389-393

Vermillon, R. Compresing a classical particle in a 1-D box. Am. J. Phys. 40, September 1978, pp. 1340-1342

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