Enfriamiento de un gas

Imaginemos un gas compuesto por N₀ moléculas que ocupan un recipiente a la temperatura T₀. La distribución de equilibrio es

$d n = \frac{2 N_{0}}{\sqrt{π} {(k T_{0})}^{3 / 2}} E^{1 / 2} \exp (\frac{- E}{k T_{0}}) d E$

Por algún procedimiento (véase el artículo citado en las referencias) se eliminan del recipiente todas las moléculas que se muevan con una velocidad superior a v_c o tengan una energía superior a E_c (en color azul en la figura) quedando N₁ moléculas en el recipiente.

$N_{1} = \frac{2 N_{0}}{\sqrt{π} {(k T_{0})}^{3 / 2}} \int_{0}^{E_{c}} E^{1 / 2} \exp (\frac{- E}{k T_{0}}) d E$

Las N₁ moléculas que permanecen en el recipiente están inicialmente en una situación de no equilibrio tal como se muestra en la figura, más abajo

Las N₁ moléculas que permanecen en el recipiente chocan entre sí y vuelven a adoptar la distribución de equilibrio a una temperatura inferior T₁

$d n = \frac{2 N_{1}}{\sqrt{π} {(k T_{1})}^{3 / 2}} E^{1 / 2} \exp (\frac{- E}{k T_{1}}) d E$

La energía antes y después alcanzar la distribución de equilibrio no cambia, de modo que

$\frac{2 N_{0}}{\sqrt{π} {(k T_{0})}^{3 / 2}} \int_{0}^{E_{c}} E^{3 / 2} \exp (\frac{- E}{k T_{0}}) d E = \frac{2 N_{1}}{\sqrt{π} {(k T_{1})}^{3 / 2}} \int_{0}^{\infty} E^{3 / 2} \exp (\frac{- E}{k T_{1}}) d E$

Dada la energía E_c podemos calcular la temperatura T₁ de las N₁ moléculas del gas que permenecen en el recipiente.

La integral de la derecha, la hemos resuelto en la página anterior, al calcular la energía interna U de N moléculas de un gas a la temperatura T

$\frac{2 N_{1}}{\sqrt{π} {(k T_{1})}^{3 / 2}} \int_{0}^{\infty} E^{3 / 2} \exp (\frac{- E}{k T_{1}}) d E = \frac{3}{2} N_{1} k T_{1}$

Sustituimos N₁ y despejamos T₁

$\begin{array}{l} \frac{2 N_{0}}{\sqrt{π} {(k T_{0})}^{3 / 2}} \int_{0}^{E_{c}} E^{3 / 2} \exp (\frac{- E}{k T_{0}}) d E = \frac{3}{2} k T_{1} \frac{2 N_{0}}{\sqrt{π} {(k T_{0})}^{3 / 2}} \int_{0}^{E_{c}} E^{1 / 2} \exp (\frac{- E}{k T_{0}}) d E \\ T_{1} = \frac{2 \int_{0}^{E_{c}} E^{3 / 2} \exp (\frac{- E}{k T_{0}}) d E}{3 k \int_{0}^{E_{c}} E^{1 / 2} \exp (\frac{- E}{k T_{0}}) d E} \end{array}$

Hacemos el cambio de variable x=E/kT

El número de partículas que permanece en el recipiente es

$N_{1} = \frac{2 N}{\sqrt{π}} \int_{0}^{x c} x^{1 / 2} \exp (- x) d x$

La temperatura T₁ del gas compuesto por N₁ moléculas es

$T_{1} = \frac{2 T_{0} \int_{0}^{x_{c}} x^{3 / 2} \exp (- x) d x}{3 \int_{0}^{x_{c}} x^{1 / 2} \exp (- x) d x} x_{c} = \frac{E_{c}}{k T_{0}}$

Resolvemos la integral del denominador

$\int_{0}^{x c} x^{1 / 2} \exp (- x) d x$

Se hace el cambio de variable y²=x

$2 \int_{0}^{\sqrt{x_{c}}} y^{2} \exp (- y^{2}) d y$

Se integra por partes

$\begin{array}{l} 2 {(- \frac{1}{2} y \exp (- y^{2}) + \frac{1}{2} \int \exp (- y^{2}) d y)}_{0}^{\sqrt{x_{c}}} = \\ (- \sqrt{x_{c}} \exp (- x_{c}) + \frac{\sqrt{π}}{2} erf (\sqrt{x_{c}})) \end{array}$

Resolvemos la integral del numerador

$\begin{array}{l} \int_{0}^{x c} x^{3 / 2} \exp (- x) d x = 2 \int_{0}^{\sqrt{x_{c}}} y^{4} \exp (- y^{2}) d y = \\ 2 {(- \frac{1}{2} y^{3} \exp (- y^{2}) + \frac{3}{2} \int y^{2} \exp (- y^{2}) d y)}_{0}^{\sqrt{x_{c}}} = \\ {(- y^{3} \exp (- y^{2}) - \frac{3}{2} y \exp (- y^{2}) + \frac{3}{2} \int \exp (- y^{2}) d y)}_{0}^{\sqrt{x_{c}}} = \\ \frac{3 \sqrt{π}}{4} erf (\sqrt{x_{c}}) - (x_{c} \sqrt{x_{c}} + \frac{3}{2} x_{c}) \exp (- x_{c}) \end{array}$

La temperatura T₁ es

$T_{1} = \frac{T_{0} (3 \sqrt{π} erf (\sqrt{x_{c}}) - (4 x_{c} \sqrt{x_{c}} + 6 \sqrt{x_{c}}) \exp (- x_{c}))}{3 (\sqrt{π} erf (\sqrt{x_{c}}) - 2 \sqrt{x_{c}} \exp (- x_{c}))}$

El número de moléculas

$N_{1} = N_{0} (erf (\sqrt{x_{c}}) - \frac{2}{\sqrt{π}} \sqrt{x_{c}} \exp (- x_{c}))$

Actividades

Se introduce

La temperatura inicial del gas T₀ en el control de edición titulado Temperatura (K)

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se representa la función de distribución de las moléculas dn/dE con la energía E expresada en electrón-voltios eV

La energía E_c de corte o mínima de las moléculas que se van a eliminar del recipiente, en el control de edición titulado Energía

Se pulsa el botón Eliminar

La proporción de moléculas que van a ser eliminadas, es el cociente entre el área bajo la curva de la distribución señalada en color azul y el área total bajo la curva.

Se proporciona el dato de la proporción de moléculas eliminadas en la parte superior derecha del applet.

Se pulsa el botón titulado Equilibrio

La distribución inicial de no equilibrio, se convierte en una distribución de equilibrio a una temperatura inferior, debido a los choques entre las molécula del gas contenido en el recipiente.

Se proporciona el dato de la nueva temperatura T₁ y de la proporción de moléculas que permanecen en el recipiente, N₁.

Se compara la distribución de equilibrio a la temperatura T₀ (en color gris) con la distribución actual a la temperatura T₁ (en color azul).

El estado final es el estado inicial para una nueva iteracción. Se introduce una nueva energía de corte E_c(o se mantiene el mismo valor), se pulsa el botón Eliminar y a continuación, el botón titulado Equilibrio. De este modo, vamos enfriando el gas a la vez que van eliminando las moléculas más energéticas del mismo.

Los pares de datos, (T₁, N₁) se guardan el en área de texto situado a la izquierda del applet hasta un máximo de 15. Cuando se completa la experiencia se pulsa el botón Gráfica. Se representa los "datos experimentales", temperatura en el eje horizontal, proporción de átomos que permenecen en el recipiente en el eje vertical.

Referencias

Henn E. A., Seman J. A., Ramos E. R. F., Iavaronni A. H., Amthor T., Bagnato V. S., Evaporation in atomic traps: A simple approach. Am. J. Phys. 75 (10) October 2007, pp. 907-910