La entropía en los procesos reversibles (II)

Vamos a calcular la variación de entropía de una sustancia que se calienta desde una temperatura T₀ a una temperatura T₁. Vamos a imaginar un proceso en que se realiza en N pasos consecutivos, poniendo la sustancia en contacto con N focos de calor a temperaturas sucesivamente crecientes comprendidas entre T₀ y T₁.

Proceso de un solo paso

Colocamos un cuerpo de masa m y calor específico c cuya temperatura inicial es T_c en contacto con un foco (ambiente) cuya temperatura es T_f.

Como hemos estudiado en la página titulada “Ley del enfriamiento de Newton” al cabo de un cierto tiempo (teóricamente infinito) el cuerpo alcanza la temperatura T_f.

T=T_f+(T_c-T_f)·exp(-k·t)

El cuerpo absorbe una cantidad de calor

Q=m·c·(T_f-T_c)

La variación de entropía del cuerpo es

$Δ S_{c} = \int_{T_{c}}^{T_{f}} \frac{d Q}{T} = m c \int_{T_{c}}^{T_{f}} \frac{d T}{T} = m c \ln (\frac{T_{f}}{T_{c}})$

El foco de calor cede una cantidad de calor Q sin cambiar su temperatura T_f. Su variación de entropía es

$Δ S_{f} = \frac{- Q}{T_{f}} = - m c \frac{T_{f} - T_{c}}{T_{f}}$

La variación de entropía del sistema formado por el cuerpo y el foco es

ΔS= ΔS_c+ΔS_f>0

$Δ S = m c (\ln (\frac{T_{f}}{T_{c}}) - \frac{T_{f} - T_{c}}{T_{f}})$

Proceso de N pasos

Consideremos un proceso de N pasos para calentar un cuerpo desde la temperatura T₀ a la temperatura T₁.

Primer paso

Colocamos un cuerpo de masa m y calor específico c cuya temperatura inicial es T_c=T₀ en contacto con un foco cuya temperatura es T_f=T₀+(T₁-T₀)/N. Al cabo de cierto tiempo, el cuerpo alcanza la temperatura del foco T_f

La variación de entropía del sistema formado por el cuerpo y el foco es

$Δ S_{1} = m c (\ln (\frac{(N - 1) T_{0} + T_{1}}{N T_{0}}) - \frac{T_{1} - T_{0}}{(N - 1) T_{0} + T_{1}})$

Segundo paso

Colocamos el cuerpo de masa m y calor específico c cuya temperatura inicial es T_c= T₀+(T₁-T₀)/N, en contacto con un foco cuya temperatura es T_f=T₀+2(T₁-T₀)/N. Al cabo de cierto tiempo, el cuerpo alcanza la temperatura del foco T_f

La variación de entropía del sistema formado por el cuerpo y el foco es

$Δ S_{2} = m c (\ln (\frac{(N - 2) T_{0} + 2 T_{1}}{(N - 1) T_{0} + T_{1}}) - \frac{T_{1} - T_{0}}{(N - 2) T_{0} + 2 T_{1}})$

Etapa i

Colocamos el cuerpo de masa m y calor específico c cuya temperatura inicial es T_c= T₀+(i-1)(T₁-T₀)/N, en contacto con un foco cuya temperatura es T_f=T₀+i(T₁-T₀)/N. Al cabo de cierto tiempo, el cuerpo alcanza la temperatura del foco T_f

La variación de entropía del sistema formado por el cuerpo y el foco es

$Δ S_{i} = m c (\ln (\frac{(N - i) T_{0} + i T_{1}}{(N - i + 1) T_{0} + (i - 1) T_{1}}) - \frac{T_{1} - T_{0}}{(N - i) T_{0} + i T_{1}})$

Etapa N

Colocamos el cuerpo de masa m y calor específico c cuya temperatura inicial es T_c= T₀+(N-1)(T₁-T₀)/N, en contacto con un foco cuya temperatura es T_f=T₁. Al cabo de cierto tiempo, el cuerpo alcanza la temperatura del foco T_f

La variación de entropía del sistema formado por el cuerpo y el foco es

$Δ S_{N} = m c (\ln (\frac{N T_{1}}{T_{0} + (N - 1) T_{1}}) - \frac{T_{1} - T_{0}}{N T_{1}})$

Proceso completo

El proceso consta de una sucesión de N estados de equilibrio que lleva al cuerpo desde la temperatura T₀ a la temperatura T₁. La variación de entropía es

$Δ S = m c \sum_{i = 1}^{N} (\ln (\frac{(N - i) T_{0} + i T_{1}}{(N - i + 1) T_{0} + (i - 1) T_{1}}) - \frac{T_{1} - T_{0}}{(N - i) T_{0} + i T_{1}})$

En la figura, se representa:

En el eje vertical la variación de entropía ΔS
En el eje horizontal la inversa 1/N del número de pasos

Cuando el número N de pasos es muy grande la suma de las variaciones de entropía del foco y del gas tiende a cero. ΔS_f+ΔS_c→0

Ejemplo:

La temperatura inicial del cuerpo es T₀=0ºC=273 K
La temperatura final es T₁=80ºC=353 K
La masa m del cuerpo y su calor específico c son tales que el producto m·c=1

Una etapa, N=1

Ponemos el cuerpo a la temperatura inicial de 273 K en contacto con un foco a la temperatura fija de 353 K

$Δ S = \ln (\frac{353}{273}) - \frac{353 - 273}{353} = 0.0304$

Cuatro etapas, N=4

Ponemos el cuerpo a la temperatura inicial de 273 K en contacto con un foco a la temperatura de 273+80/4=293 K. La variación de entropía es

$Δ S_{1} = \ln (\frac{293}{273}) - \frac{293 - 273}{293} = 0.0024$

El cuerpo ha alcanzado la temperatura de 293 K. Lo ponemos en contacto con un foco a la temperatura de 313 K. La variación de entropía es

$Δ S_{2} = \ln (\frac{313}{293}) - \frac{313 - 293}{313} = 0.0021$

El cuerpo ha alcanzado la temperatura de 313 K. Lo ponemos en contacto con un foco a la temperatura de 333 K. La variación de entropía es

$Δ S_{3} = \ln (\frac{333}{313}) - \frac{333 - 313}{333} = 0.0019$

El cuerpo ha alcanzado la temperatura de 333 K. Lo ponemos en contacto con un foco a la temperatura de 353 K. La variación de entropía es

$Δ S_{4} = \ln (\frac{353}{333}) - \frac{353 - 333}{353} = 0.0017$

La variación de entropía del proceso que consta de cuatro estados de equilibrio es

ΔS= ΔS₁+ΔS₂+ΔS₃+ΔS₄=0.0081

Que como vemos es mucho menor que en el proceso de una sola etapa.

Actividades

Se introduce

La temperatura final del cuerpo T₁, actuando en la barra de desplazamiento titulada Temperatura
La temperatura inicial se ha fijado en T₀=0ºC=273 K
La masa m del cuerpo y su calor específico c se han elegido de modo que el producto m·c=1

Se pulsa el botón titulado Inicio.

El número de pasos es N=1. El proceso consta de una sucesión de dos estados de equilibrio.

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se pone el cuerpo en contacto con un foco a la temperatura T₁. Se observa que la temperatura del cuerpo aumenta hasta alcanzar la temperatura final del foco.

Cuando el cuerpo ha alcanzado la temperatura final de equilibrio, se pulsa el botón titulado Siguiente>>,

El número de pasos es N=2. El proceso consta de una sucesión de dos estados de equilibrio.

Se pulsa el botón titulado Empieza

y así, sucesivamente

En la parte derecha del applet, se representa

En el eje vertical la variación de entropía ΔS
En el eje horizontal la inversa 1/N del número de pasos

Cuando el número N de pasos es muy grande la suma de las variaciones de entropía del foco y del gas tiende a cero.

Referencias

Calkin M. G., Kiang D., Entropy change and reversibility. Am. J. Phys. 51 (1) January 1983., pp. 78-79