Procesos cuasiestáticos

Un proceso cuasiestático se define como una idealización de un proceso real que se lleva a cabo de tal modo que el sistema está en todo momento muy cerca del estado de equilibrio, como un proceso que se realiza en un número muy grande de pasos, o que lleva mucho tiempo.

En la naturaleza los procesos son irreversibles. En Termodinámica se estudian los procesos reversibles. Podemos conseguir aproximarnos a un proceso reversible, a través de una transformación consistente en una sucesión de estados de equilibrio, tal como se va a mostrar en esta página.

Transformación adiabática

Sea un recipiente cilíndrico de sección S, perfectamente aislado, en posición vertical con un émbolo que separa una parte que está vacía a presión p=0, y la otra parte que contiene un gas.

Si en un momento dado la temperatura absoluta del gas es T y la altura del émbolo es y. La ecuación de los gases ideales, nos relaciona la presión p, el volumen y·S y la temperatura T de una masa de gas o de su número n de moles.

p·S·y =nRT
f·y =nRT

Donde f es la fuerza que ejerce el gas sobre el émbolo debido a la presión

R=8.3143 J/(ºK·mol) es la constante de los gases

La energía del gas ideal es

$U = n c_{v} T = \frac{p S \cdot y}{R T} \frac{R}{γ - 1} T = \frac{f \cdot y}{γ - 1}$

El índice γ=5/3 para un gas monoatómico, y γ=7/5 para un gas diatómico

Efectuamos una transformación adiabática entre el estado inicial de equilibrio caracterizado por

Una presión p₀ o la fuerza sobre el émbolo f₀=p₀/S debida a la presión del gas f₀=m₀g
Un volumen V₀₌y₀·S, o altura del émbolo y₀.
Una temperatura T₀
y una energía inicial

$U_{0} = \frac{m_{0} g y_{0}}{γ - 1}$

y un estado final de equilibrio caracterizado por

Una presión p_e o la fuerza sobre el émbolo f_e=p_e/S debida a la presión del gas f_e=(m₀+m_p)g=mg
Un volumen V_a=y_a·S, o altura del émbolo y_a.
Una temperatura T_a

La altura y_a del émbolo se calcula a partir de la ecuación de la transformación adiabática

$f_{0} y_{0}^{γ} = f_{e} y_{a}^{γ}$

La temperatura T_a a partir de la ecuación de los gases ideales

$\frac{(m_{0} + m_{p}) \cdot y_{a}}{T_{a}} = \frac{m_{0} y_{0}}{T_{0}}$

Proceso de un solo paso

Un bloque de masa m_p se coloca sobre el émbolo de masa m₀ en la posición inicial y₀ con velocidad inicial cero y llega a su posición final de equilibrio y_e con velocidad nula.

La ecuación del balance energético, como ya se explicó en la página anterior, es

$\frac{m_{0} g y_{0}}{γ - 1} + m g y_{0} = m g y + \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{f \cdot y}{γ - 1}$

En el miembro izquierdo, tenemos la energía inicial (interna del gas y potencial del conjunto bloque-émbolo), a la derecha la energía cinética y potencial del conjunto bloque-émbolo y la energía interna final del gas.

El émbolo llega a la posición de equilibrio estable y=y_e después de cierto tiempo, con velocidad v=0, describiendo una oscilación amortiguada tal como se ha estudiado en la página anterior. En esta posición de equilibrio, la fuerza f que ejerce el gas sobre el émbolo debida a la presión se anula con el peso del conjunto formado por el bloque y el émbolo f=mg en

$\frac{m_{0} g y_{0}}{γ - 1} + m g y_{0} = m g y_{e} + \frac{m g \cdot y_{e}}{γ - 1}$

La energía potencial del conjunto émbolo-bloque correspondiente a la altura (y₀-y_e) se convierte enteramente en energía interna del gas en la posición final de equilibrio y_e.

ΔE_p=(m₀+m_p)g(y₀-y_e)

Despejamos la posición final de equilibrio y_e de la ecuación de la conservación de la energía,

$y_{e} - y_{0} = - \frac{m_{p}}{m_{0} + m_{p}} \frac{y_{0}}{γ}$

La temperatura en el estado final de equilibrio, se obtiene a partir de la ecuación de los gases ideales

$\frac{(m_{0} + m_{p}) \cdot y_{e}}{T_{e}} = \frac{m_{0} y_{0}}{T_{0}}$

Comparando la transformación adiabática y el proceso de un solo paso, vemos que el estado final tiene la misma presión, pero distintos volúmenes y por tanto, distinta temperatura, tal como puede apreciarse en la figura.

La curva de color azul representa la transformación adiabática reversible
La curva en color rojo, el proceso de un solo paso.

Proceso de N pasos

Nos aproximaremos al proceso reversible a través de una transformación consistente en una sucesión de N estados de equilibrio que nos conducirán desde el estado inicial al final. Para ello, dividimos el bloque de masa m_p en N trozos iguales, que se colocan sucesivamente sobre el émbolo cada vez que se alcanza el equilibrio.

Un proceso irreversible trascurre durante un determinado tiempo, mientras que una transformación consistente en una sucesión de estados de equilibrio puede tener una duración ilimitada.

Dividimos el bloque en N trozos iguales de masa Δm=m_p/N , donde m_p es la masa del bloque, y los vamos colocando sobre el émbolo del siguiente modo:

Situación inicial

Partimos de la situación inicial de equilibrio, con el émbolo a una altura y₀. La fuerza que ejerce el gas f₀ sobre el émbolo debida a la presión se compensa con el peso del émbolo m₀g.

Primera etapa

Colocamos un trozo del bloque de masa Δm, observamos que comprime el gas y alcanza la posición de equilibrio y₁ a la altura.

$y_{1} - y_{0} = \frac{- Δ m}{m_{0} + Δ m} \frac{y_{0}}{γ}$

La fuerza f₁ que ejerce el gas debido a la presión, se iguala al peso del conjunto formado por el émbolo y la porción del bloque, f₁=(m₀+ Δm)g

Segunda etapa

La posición de equilibrio y₁ es ahora la posición inicial cuando se coloca el segundo trozo del bloque de igual masa Δm. Observamos que se comprime el gas y alcanza la posición de equilibrio y₂ a la altura.

$y_{2} - y_{1} = \frac{- Δ m}{m_{0} + 2 Δ m} \frac{y_{1}}{γ}$

La fuerza f₂ que ejerce el gas debido a la presión, se iguala al peso del conjunto formado por el émbolo y la porción del bloque, f₂=(m₀+ 2Δm)g

Etapa N

La posición de equilibrio y_N-1 es la posición inicial cuando se coloca la última porción n de bloque. Observamos que se comprime el gas y alcanza la posición de equilibrio final y_N a la altura.

$y_{N} - y_{N - 1} = \frac{- Δ m}{m_{0} + n Δ m} \frac{y_{N - 1}}{γ}$

La fuerza f_N que ejerce el gas debido a la presión, se iguala al peso del conjunto formado por el émbolo y la porción del bloque, f_N=(m₀+NΔm)g

Balance energético

Se coloca la primera porción de bloque de masa Δm en la posición de partida y₀, se alcanza el equilibrio en la posición y₁.

Se coloca la segunda porción de bloque en la posición y₁, se alcanza el equilibrio en la posición y₂.

Se coloca la tercera porción de bloque en la posición y₂, se alcanza el equilibrio en la posición y₃.

Y así, sucesivamente... El proceso consta de una sucesión de N estados de equilibrio

La energía potencial del conjunto formado por el émbolo y de las porciones del bloque que se van colocando sucesivamente sobre el émbolo, se convierte enteramente en energía interna del gas en la posición final de equilibrio y_N. El principio de conservación de la energía se escribe

$\frac{m_{0} g y_{0}}{γ - 1} + Δ E_{p} = \frac{(m_{0} + N \cdot Δ m) g \cdot y_{N}}{γ - 1}$

La variación de energía potencial vale (véase la figura)

ΔE_p= (m₀+Δm)·g·(y₀-y₁)+ (m₀+2Δm)·g·(y₁-y₂)+ …+(m₀+NΔm)·g·(y_N_-1-y_N)

$Δ E_{p} = \frac{Δ m}{γ} g \sum_{i = 0}^{N - 1} y_{i}$

Comparando el proceso reversible y la transformación consistente en una sucesión estados de equelibrio vemos que el estado final tiene la misma presión, pero distintos volúmenes y por tanto, distinta temperatura, tal como puede apreciarse en la figura.

La curva de color azul representa la transformación adiabática
La curva en color rojo, la sucesión de estados de equilibrio.

Podemos comprobar que cuanto mayor sea el número de porciones N, en el que se divide el bloque, mayor es el grado de ajuste con el proceso reversible, que conecta los estados inicial y final.

En la parte derecha, se dibujan las fuerzas sobre el émbolo:

El peso del conjunto formado por el bloque-émbolo (flecha azul)
La fuerza que ejerce la presión del gas sobre el émbolo (flecha roja)

El proceso es una sucesión de N estados de equilibrio. Cuando N es grande, observamos que hay muy poca diferencia en las dos fuerzas que actúan sobre el émbolo a lo largo de todo el proceso. Naturalmente, en las posiciones de equilibrio son iguales.

De la formulación discreta a la continua

Ecuación de la transformación adiabática

La diferencia entre dos posiciones consecutivas de equilibrio estable, se escribe

$\frac{y_{N} - y_{N - 1}}{y_{N - 1}} = \frac{- 1}{γ} \frac{Δ m}{m_{0} + N \cdot Δ m}$

Cuando pasamos del límite discreto al continuo

$\frac{d y}{y} = - \frac{1}{γ} \frac{d m}{m_{0} + m}$

Integrando miembro a miembro

$γ \ln y = - \ln (m_{0} + m) + cte$

O bien

$(m_{0} + m) y^{γ} = cte$

En un proceso reversible todas las posiciones del émbolo son de equilibrio, por lo que se cumple f=(m₀+m)g cuando el émbolo está a una altura y, y f₀=m₀g en la posición inicial cuando la altura del émbolo es y₀.

$f y^{γ} = f_{0} y_{0}^{γ}$

Esta es la ecuación de una transformación adiabática.

Balance energético

Para n trozos la variación de energía potencial es

$Δ E_{p} = \frac{Δ m}{γ} g \sum_{i = 0}^{N - 1} y_{i}$

La variación de energía potencial se escribe para el límite continuo

$Δ E_{p} = \frac{g}{γ} \int_{y_{0}}^{y_{e}} y \cdot d m$

Para integrar respecto de la variable y, utilizamos la relación entre y y la masa m del bloque

$\begin{array}{l} (m_{0} + m) y^{γ} = m_{0} y_{0}^{γ} d m = - γ \frac{m_{0} y_{0}^{γ}}{y^{γ + 1}} d y \\ Δ E_{p} = - g m_{0} y_{0}^{γ} \int_{y_{0}}^{y_{e}} \frac{d y}{y^{γ}} = \frac{g m_{0}}{γ - 1} (y_{0}^{γ} y_{e}^{- γ + 1} - y_{0}) \end{array}$

Como podemos comprobar, cumple la ecuación de la conservación de la energía para el límite continuo

$\frac{m_{0} g y_{0}}{γ - 1} + Δ E_{p} = \frac{(m_{0} + m) g \cdot y}{γ - 1}$

Actividades

Se introduce

El tipo de gas, monoatómico o diatómico, activando el botón de radio correspondiente.
La temperatura inicial T₀ del gas encerrado en el recipiente, actuando en la barra de desplazamiento titulada Temperatura
La masa del émbolo m₀ se ha fijado en un kg.
La masa del bloque m_p se ha fijado en 5 kg
El número de moles se ha fijado en n=0.002 mol

Se pulsa el botón titulado Inicio.

Se observa el estado inicial de equilibrio, el émbolo está en la posición y₀.

Se introduce el número N de trozos en el que se ha dividido en bloque de 5 kg, en el control de selección titulado Número de trozos

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se pone el bloque de masa m_p sobre el émbolo y observamos su movimiento

Se representan las fuerzas sobre el conjunto émbolo-bloque,

El peso (m₀+m_p)g=mg
La fuerza f que ejerce el gas sobre el émbolo debida a la presión

y se proporciona el dato de la resultante f-mg.

Se proporcionan los datos del tiempo y velocidad de émbolo en la parte superior derecha del applet, la temperatura (en kelvin) en la parte inferior del recipiente.

En la parte derecha del applet, se representa la fuerza f que ejerce el gas sobre el émbolo en función de la altura y del émbolo. Se compara con la curva (de color azul) que es la representación de la transformación adiabática f·y^γ=cte. La constante se determina conociendo la fuerza f₀ (presión) y el desplazamiento y₀ (volumen) en el instante t=0.

Ejemplo:

Se introduce

La temperatura 20ºC=293 K
Se selecciona gas monoatómico

Se pulsa el botón titulado Inicio

Estado inicial

En el estado inicial de equilibrio, la fuerza que ejerce el gas sobre el émbolo es igual al peso del émbolo

f₀=p₀·S= m₀g=1·9.8 N

Conociendo el número n=0.002 de moles de gas y su temperatura T₀=293 K calculamos el volumen o la posición inicial y₀ del émbolo, aplicando la ecuación de los gases perfectos, p₀·V₀=nRT₀

$m_{0} g \cdot y_{0} = n R T_{0} y_{0} = \frac{0.002 \cdot 8.3143 \cdot 293}{1 \cdot 9.8} = 0.497 m = 49 .7 cm$

Proceso de un solo paso

Se introduce Número de trozos N=1, se coloca el bloque entero sobre el émbolo en la situación inicial

Se pulsa el botón titulado Empieza.

El émbolo desciende y comprime el gas, hasta que detiene en la posición de equilibrio. El peso del conjunto bloque-émbolo (m₀+m_p)g se igualan a la fuerza f_e que ejerce el gas sobre el émbolo debido a la presión.

f_e=(1+5)·9.8 =58.8 N

Como toda la energía potencial del conjunto bloque-émbolo se convierte en energía interna del gas, la posición final de equilibrio se obtiene

$y_{1} - y_{0} = \frac{- m_{p}}{m_{0} + m_{p}} \frac{y_{0}}{γ} y_{1} = 0.497 - \frac{5}{1 + 5} \frac{0.497}{\frac{5}{3}} = 0.248 m$

Calculamos ahora, la temperatura en esta situación de equilibrio

$\frac{(m_{0} + m_{p}) \cdot y_{1}}{T_{1}} = \frac{m_{0} y_{0}}{T_{0}} \frac{6 \cdot 0.248}{T_{1}} = \frac{1 \cdot 0.497}{293}$

T₁=879.0 K

La energía potencial que se transforma en energía interna es la que corresponde a la altura y₀-y₁

ΔE_p=(m₀+m_p)g(y₀-y₁) =6·9.8·(0.497-0.248)=14.61 J

Proceso de N pasos

Partimos del estado inicial del ejemplo anterior

Se introduce el número de trozos iguales en el que se ha dividido el bloque, por ejemplo N=4.

Se pone sobre el émbolo una masa Δm=5/4=1.25 kg, en la situación inicial de partida

Se pulsa el botón titulado Empieza.

Primera etapa

El émbolo desciende y comprime el gas, hasta que se detiene su movimiento en la posición de equilibrio. El peso del conjunto bloque-émbolo (m₀+Δm)g se iguala a la fuerza f₁ que ejerce el gas sobre el émbolo debido a la presión.

f₁=(1+1.25)·9.8 =22.05 N

Como toda la energía potencial del conjunto bloque-émbolo se convierte en energía interna del gas, la posición final de equilibrio se obtiene

$y_{1} - y_{0} = \frac{- Δ m}{m_{0} + Δ m} \frac{y_{0}}{γ} y_{1} = 0.497 - \frac{1.25}{1 + 1.25} \frac{0.497}{\frac{5}{3}} = 0.331 m$

Calculamos la temperatura en esta situación de equilibrio

$\frac{(m_{0} + Δ m) \cdot y_{1}}{T_{1}} = \frac{m_{0} y_{0}}{T_{0}} \frac{2.25 \cdot 0.331}{T_{1}} = \frac{1 \cdot 0.497}{293}$

T₁=439.5 K

Segunda etapa

El émbolo con los dos trozos encima se mueve hacia la nueva posición de equilibrio y₂

$y_{2} - y_{1} = \frac{- Δ m}{m_{0} + 2 Δ m} \frac{y_{1}}{γ} y_{2} = 0.331 - \frac{1.25}{1 + 2.5} \frac{0.331}{\frac{5}{3}} = 0.260 m$

Calculamos la temperatura en esta situación de equilibrio

$\frac{(m_{0} + 2 Δ m) \cdot y_{2}}{T_{2}} = \frac{m_{0} y_{0}}{T_{0}} \frac{3.5 \cdot 0.260}{T_{2}} = \frac{1 \cdot 0.497}{293}$

T₂=537.2 K

Tercera etapa

El émbolo con los tres trozos encima se mueve hacia la nueva posición de equilibrio y₂

$y_{3} - y_{2} = \frac{- Δ m}{m_{0} + 3 Δ m} \frac{y_{2}}{γ} y_{2} = 0.260 - \frac{1.25}{1 + 3.75} \frac{0.260}{\frac{5}{3}} = 0.219 m$

Calculamos la temperatura en esta situación de equilibrio

$\frac{(m_{0} + 3 Δ m) \cdot y_{3}}{T_{3}} = \frac{m_{0} y_{0}}{T_{0}} \frac{4.75 \cdot 0.219}{T_{3}} = \frac{1 \cdot 0.497}{293}$

T₃=613.9 K

Cuarta etapa

El émbolo con los tres trozos encima se mueve hacia la nueva posición de equilibrio y₂

$y_{4} - y_{3} = \frac{- Δ m}{m_{0} + 4 Δ m} \frac{y_{3}}{γ} y_{4} = 0.219 - \frac{1.25}{1 + 5} \frac{0.219}{\frac{5}{3}} = 0.192 m$

Calculamos la temperatura en esta situación de equilibrio

$\frac{(m_{0} + 4 Δ m) \cdot y_{4}}{T_{4}} = \frac{m_{0} y_{0}}{T_{0}} \frac{6 \cdot 0.192}{T_{4}} = \frac{1 \cdot 0.497}{293}$

T₄=678.5 K

Balance energético

La variación de energía potencial que se trasforma en energía interna es

ΔE_p= (m₀+Δm)·g·(y₀-y₁)+ (m₀+2Δm)·g·(y₁-y₂)+ (m₀+3Δm)·g·(y₂-y₃)+ (m₀+4Δm)·g·(y₃-y₄)=9.61 J

Esto explica que la temperatura final del gas sea menor. La variación de energía potencial entre la posición inicial y₀ y la posición final y₄ se puede escribir

$Δ E_{p} = \frac{Δ m}{γ} g (y_{0} + y_{1} + y_{2} + y_{3}) = \frac{1.25}{\frac{5}{3}} 9.8 \cdot (0.497 + 0.331 + 0.260 + 0.219) = 9.61 J$

Proceso reversible

Una transformación adiabática entre el estado inicial f₀=m₀g, y₀, y el estado final caracterizado por una fuerza debida a la presión f_e=mg=(m₀+m_p)g, es

$\begin{array}{l} f_{0} y_{0}^{γ} = f_{e} y_{e}^{γ} y_{e} = {(\frac{1 \cdot 9.8}{6 \cdot 9.8})}^{\frac{3}{5}} 0.497 = 0.169 m \\ \frac{(m_{0} + m_{p}) \cdot y_{e}}{T_{e}} = \frac{m_{0} y_{0}}{T_{0}} \frac{6 \cdot 0.169}{T_{e}} = \frac{1 \cdot 0.497}{293} \end{array}$

T_e=600.0 K

Comparación de resultados

Estado final de equilibrio

Variable	Un paso	Cuatro pasos	Proceso reversible
Presión (fuerza)	(1+5)·9.8 N	(1+4·1.25)·9.8	6·9.8
Volumen (altura)	24.8 cm	19.2	16.9
Temperatura	879.0 K	678.5	600.0

Hay diferencia entre el proceso reversible y una transformación consistente en cuatro pasos, pero la diferencia ha disminuido notablemente respecto de la transformación que consta de un solo paso.