Vaciado de un depósito (I)

Teorema de Torricelli

Un depósito cilíndrico, de sección S₁ tiene un orificio muy pequeño en el fondo de sección S₂ mucho más pequeña que S₁. Aplicamos el teorema de Bernoulli a los puntos (1) y (2) situados en la superficie libre del fluido y en el centro del orificio inferior.

$p_{1} + ρ g y_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} = p_{2} + ρ g y_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2}$

suponiendo que la velocidad del fluido en la sección mayor S₁es despreciable v₁≈ 0 comparada con la velocidad del fluido v₂ en la sección menor S₂.

Por otra parte, el elemento de fluido delimitado por las secciones S₁ y S₂ está en contacto con el aire a la misma presión. Luego, p₁=p₂=p₀.

La diferencia de alturas es y₁-y₂=h. Siendo h la altura de la columna de fluido

Con estos datos la ecuación de Bernoulli se escribe

$g h = \frac{1}{2} v_{2}^{2} v_{2} = \sqrt{2 g h}$

El frasco de Mariotte

bernoulli_6.gif (3213 bytes) De acuerdo con el teorema de Torricelli, la velocidad de salida de un líquido por un orificio practicado en su fondo es la misma que la que adquiere un cuerpo que cayese libremente en el vacío desde una altura h, siendo h la altura de la columna de fluido

$v = \sqrt{2 g h}$

A medida que el fluido sale por el orificio, la altura h de fluido en el depósito va disminuyendo. Si S es la sección del orificio, el gasto Sv, o volumen de fluido que sale por el orificio en la unidad de tiempo no es constante. Si queremos producir un gasto constante podemos emplear el denominado frasco de Mariotte.

Consiste en un frasco lleno de fluido hasta una altura h₀, que está cerrado por un tapón atravesado por un tubo cuyo extremo inferior está sumergido en el líquido. El fluido sale del frasco por un orificio practicado en el fondo del recipiente. En el extremo inferior B del tubo, la presión es la atmosférica ya que está entrando aire por el tubo, a medida que sale el líquido por el orificio.

La velocidad de salida del fluido no corresponderá a la altura h₀ desde el orificio a la superficie libre de fluido en el frasco, sino a la altura h o distancia entre el extremo inferior B del tubo y el orificio.

Dado que h permanece constante en tanto que el nivel de líquido esté por encima del extremo inferior del tubo, la velocidad del fluido y por tanto, el gasto se mantendrán constantes. Cuando la altura de fluido en el frasco h₀ es menor que h, la velocidad de salida v del fluido deja de ser constante

La velocidad de salida v puede modificarse subiendo o bajando el extremo inferior del tubo AB en el frasco.

Vaciado de un depósito

En la deducción del teorema de Torricelli hemos supuesto que la velocidad del fluido en la sección mayor S₁es despreciable v₁≈ 0 comparada con la velocidad del fluido v₂ en la sección menor S₂.

Supondremos ahora, que v₁ no es despreciable frente a v₂.

La ecuación de continuidad se escribe

v₁S₁=v₂S₂

y la ecuación de Bernoulli

$ρ g h + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} = \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2}$

De estas dos ecuaciones obtenemos v₁ y v₂

$v_{2} = S_{1} \sqrt{\frac{2 g h}{S_{1}^{2} - S_{2}^{2}}}$

Si S₁>>S₂ obtenemos el resultado de Torricelli

El volumen de fluido que sale del depósito en la unidad de tiempo es S₂v₂, y en el tiempo dt será S₂v₂dt . Como consecuencia disminuirá la altura h del depósito

-S₁dh= S₂v₂dt

Si la altura inicial del depósito en el instante t=0 es H. Integrando esta ecuación diferencial, obtenemos la expresión de la altura h en función del tiempo.

$\begin{array}{l} - \int_{H}^{h} \frac{d h}{\sqrt{h}} = S_{2} \sqrt{\frac{2 g}{S_{1}^{2} - S_{2}^{2}}} \int_{0}^{t} d t \\ 2 \sqrt{H} - 2 \sqrt{h} = S_{2} \sqrt{\frac{2 g}{S_{1}^{2} - S_{2}^{2}}} \cdot t \end{array}$

Cuando h=0, despejamos el tiempo t que tarda el depósito en vaciarse por completo.

$t = \sqrt{(\frac{S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}} - 1) \frac{2 H}{g}}$

Si S₁>>S₂, se puede despreciar la unidad

$t = \frac{S_{1}}{S_{2}} \sqrt{\frac{2 H}{g}}$

Ejemplo.

Radio del depósito 10 cm, luego, S₁=π (0.1)² m²
Radio del orificio 0.8 cm, luego, S₂=π(0.008)² m²
Altura inicial 45 cm, H=0.45 m

Sustituyendo estos datos en la fórmula del tiempo obtenemos t=47.34 s, que es el tiempo que tarda en vaciarse completamente el depósito. Si aplicamos la aproximación S₁>>S₂, obtenemos prácticamente el mismo tiempo t=47.35 s.

Actividades

Se introduce:

el radio del depósito R₁, actuando en la barra de desplazamiento titulada Radio depósito
el radio del orificio R₂ situado en el fondo, actuando en la barra de desplazamiento titulada Radio del orificio
la altura inicial H de agua en el depósito, moviendo la flecha de color rojo con el puntero del ratón.

Se pulsa en el botón titulado Empieza

El fluido comienza a salir por el orificio, a la vez que se representa gráficamente la altura de la columna de fluido en función del tiempo, en la parte derecha del applet.

FluidoApplet1 aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Se arrastra con el puntero del ratón las flechas de color rojo

Referencias

Njock J, Mechanics of the slow draining of a large tank under gravity. Am. J. Phys. 71 (11) November 2003, pp. 1204-1207