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Vaciado de un depósito (II)

En la página anterior, hemos estudiado el vaciado de un depósito, suponiendo que está abierto por arriba.

Vamos a estudiar en esta página, el vaciado de un depósito de agua que está cerrado por la parte superior mediante una tapa hermética y que contiene aire en su interior a una presión inicial dada.

Este ejemplo nos va a servir de introducción al estudio del cohete impulsado por agua, un problema interdisciplinar en el que intervienen, tres partes de la Física: Fluidos, Dinámica y Termodinámica.

A medida que se vacía el depósito, el volumen de aire aumenta y la presión disminuye. Supondremos que esta disminución de presión se realiza a temperatura constante, es decir, se trata de un proceso isotérmico.

Descripción

En la figura se muestra un depósito que tiene una altura H y una sección S₁, la sección del orificio de salida en el fondo del depósito es S₂, la altura inicial de agua es h₀, y la presión del aire en su interior p₀.

Se abre el orificio de salida del agua, y se mide la altura h de la columna de agua en función del tiempo t.

Aplicamos el teorema de Bernoulli comparando dos puntos del fluido. El punto 1 en la interfase aire-agua y el punto 2 en el orificio de salida.

Sea p₁ la presión del aire en el interior del depósito, y v₁ la velocidad del agua en el punto 1, y h la altura de agua en el depósito en el instante t. La presión p₂ en el orificio de salida es la atmosférica p_at y la velocidad del fluido es v₂.

Consideramos los puntos (1) y (2) situados en la superficie libre del fluido y en el centro del orificio inferior. Las ecuaciones que describen el comportamiento de este sistema físico son:

1. Ecuación de continuidad

S₁·v₁=S₂·v₂

2. Ecuación de Bernoulli

${\displaystyle p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho gh=p_{at}+\frac{1}{2}\rho v_2^2}$

3. Expansión isotérmica del gas

p₀·S₁(H-h₀)=p₁·S₁(H-h)

Altura del fluido en equilibrio

La consecuencia más importante de estas ecuaciones es que el agua deja de salir por el orificio cuando v₂ y por tanto v₁ sean nulos.

La presión del aire en el interior del depósito será algo menor que la presión atmosférica. La diferencia será la presión correspondiente a la columna de agua de altura h.

De las ecuaciones de Bernoulli y de la transformación isoterma

p₁+ρ gh=p_at
p₀ (H-h₀)=p₁· (H-h)

Obtenemos la ecuación de segundo grado en h

${\displaystyle \rho g{h}^2-(\rho gH+p_{at})h-H(p_0-p_{at})+p_0{h}_0=0}$

con dos raíces h₁ y h₂ . Los valores de las raíces no dependen del área de la sección del depósito S₁, ni del orificio S₂.

Ejemplo:

• Sea el radio del depósito r₁=10 cm
• El radio del orificio r₂=0.8 cm
• La altura del depósito H=50 cm
• La altura inicial de agua en el depósito h₀=40 cm
• Si la presión inicial de aire en el depósito es p₀=4 atm

Tomando como presión atmosférica p_at=101293 Pa, y la densidad del agua ρ =1000 kg/m³, y resolviendo la ecuación de segundo grado en h, calculamos la altura final del agua en el depósito.

Las dos raíces son h₁=0.096 m=9.6 cm, y h₂=10.740 m que es mayor que H=0.5 m. Cuando la altura de agua en el depósito alcanza 9.6 cm deja de salir por el orificio. Calculamos la presión final del aire en el depósito

p₁=101293-1000·9.8·0.09=100411 Pa

un poco menos que la presión atmosférica

Variación de la altura de agua en el depósito con el tiempo

Despejamos v₁ en el sistema de tres ecuaciones

${\displaystyle v_1=\sqrt{\frac{\frac{p_0(H-h_0)}{H-h}+\rho gh-p_{at}}{\frac{1}{2}\rho \left(\frac{S_1^2}{S_2^2}-1\right)}}}$

Para hallar como cambia la altura h del agua en el depósito con el tiempo, tenemos en cuenta que,

${\displaystyle v_1=-\frac{dh}{dt}}$

y se resuelve la integral definida

${\displaystyle {\displaystyle \underset{h_0}{\overset{h}{\int }}\sqrt{\frac{(H-h)}{-\rho g{h}^2+(\rho gH+p_{at})h+H(p_0-p_{at})-p_0{h}_0}}dh}=-\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\rho \left(\frac{S_1^2}{S_2^2}-1\right)}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}dt}}$

Dada la dificultad de obtener una expresión analítica sencilla del comportamiento de la altura h con el tiempo t, el programa interactivo realiza una integración numérica, resolviendo la ecuación diferencial de primer orden por el método de Runge-Kutta, hasta que se alcanza la altura de equilibrio o se agota el agua del depósito.

Caso particular: cuando la presión del aire es elevada.

Cuando la presión del aire en el interior del depósito es mucho mayor que la presión atmosférica, no se alcanza la altura de equilibrio, el agua sale del depósito. En este caso, se pueden simplificar bastante las ecuaciones, y se puede encontrar una solución analítica, aunque tampoco es muy simple, al menos, nos sirve de ejercicio para practicar el cálculo integral

Si la sección del depósito S₁ es mucho mayor que la sección del orificio S₂, la velocidad del fluido en aquella sección v₁ es muy pequeña y se puede despreciar la presión debida al movimiento del fluido a través de dicha sección.

La presión debida a la altura de fluido ρ gh también puede considerarse pequeña respecto de la presión p=p₁ del aire en el interior del depósito.

1. La ecuación de Bernoulli se simplifica notablemente

${\displaystyle p=p_{at}+\frac{1}{2}\rho v_2^2}$

2. Al salir el agua por el orificio S₂ el volumen de aire V en el interior del depósito aumenta con el tiempo

${\displaystyle S_2{v}_2=\frac{dV}{dt}}$

3. Al aumentar el volumen V disminuye la presión p, suponiendo una transformación isoterma.

p₀V₀=p·V

Donde p₀ es la presión inicial del aire y V₀ su volumen inicial.

A partir de estas tres ecuaciones, podemos determinar la variación de la presión p, o del volumen V de aire en el interior del depósito o bien, del volumen de agua S₁·H-V (o altura h) en función del tiempo t.

Elegimos la presión. La ecuación diferencial que determina la variación de la presión p del aire en el interior del depósito con el tiempo t es

${\displaystyle \frac{dp}{dt}=-\frac{p^2}{p_0{V}_0}{S}_2\sqrt{\frac{2}{\rho }(p-p_{at})}}$

Integrando,

${\displaystyle {\displaystyle \underset{p_0}{\overset{p}{\int }}\frac{dp}{p^2\sqrt{p-p_{at}}}}=-\sqrt{\frac{2}{\rho }}\frac{S_2}{p_0{V}_0}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}dt}}$

Haciendo el cambio de variable x²=p-p_at la primera integral se convierte en

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{2dx}{{\left(x^2+p_{at}\right)}^2}}=\frac{2}{p_{at}}\left({\displaystyle \int \frac{dx}{x^2+p_{at}}}-{\displaystyle \int \frac{x^2}{{\left(x^2+p_{at}\right)}^2}dx}\right)}$

La primera es inmediata, y para resolver la segunda es necesario integrar por partes, la función integrando es

${\displaystyle \frac{1}{p_{at}}\left(\frac{1}{\sqrt{p_{at}}}\arctan \frac{x}{\sqrt{p_{at}}}+\frac{x}{x^2+p_{at}}\right)}$

Solamente nos queda deshacer el cambio de variable y calcular la integral definida entre los límites p₀ y p.

${\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{p_{at}}}\left[\arctan \left(\sqrt{\frac{p_0-p_{at}}{p_{at}}}\right)-\arctan \left(\sqrt{\frac{p-p_{at}}{p_{at}}}\right)\right]+\frac{\sqrt{p_0-p_{at}}}{p_0}-\frac{\sqrt{p-p_{at}}}{p}\right)=\sqrt{\frac{2}{\rho }}\frac{p_{at}{S}_2}{p_0{V}_0}t}$

Tenemos una función implícita de p en función de t.

Actividades

El programa interactivo estudia el comportamiento de un depósito de 50 cm de altura cerrado con un orificio en la parte inferior.

Se introduce:

• el radio del depósito r₁, actuando en la barra de desplazamiento titulada Radio depósito
• el radio del orificio r₂ situado en el fondo, actuando en la barra de desplazamiento titulada Radio del orificio
• la presión inicial p₀ de aire (en atm) en el depósito cerrado, en el control de edición titulado Presión
• la altura inicial de agua en el depósito h₀  moviendo la flecha de color rojo con el puntero del ratón.

Se pulsa en el botón titulado Empieza

Se puede cambiar el radio del depósito y el radio del orificio y la presión inicial del aire en el interior del depósito p₀.

Se representa en la parte derecha la altura  h de agua en el depósito en función del tiempo t.

El caso más importante, ocurre cuando el agua deja de salir por el orificio, se cumple que la presión del aire en el interior del depósito se hace menor que la presión atmosférica, es decir, la diferencia de presión del aire en el interior y en el exterior del depósito se hace igual a la presión que ejerce la columna de agua de altura h.

p₁- p_at=ρ gh

Como hemos visto, esta altura no depende de los radios del depósito r₁ ni del orifico r₂.

En la parte superior derecha del applet, se muestra los valores de la presión atmosférica 101 293 Pa y la presión p₁, a medida que sale el agua por el orificio inferior.

FluidoApplet1 aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Se arrastra con el puntero del ratón las flechas de color rojo

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García