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Medida de la velocidad angular de rotación de una plataforma

	Un manómetro se puede utilizar para medir la velocidad angular de rotación de una plataforma. Inicialmente, la altura del líquido en los dos brazos verticales es h.
	Se pone el manómetro sobre una plataforma que gira con velocidad angular ω, y se se hace coincidir uno de los brazos del manómetro con el eje de rotación. El nivel de líquido baja en el brazo que coincide con el eje y sube en el otro brazo vertical más alejado del eje.

Observador no inercial

Para el observador no inercial situado en la plataforma, el líquido está en equilibrio. Las fuerzas que actúan sobre cada una de las porciones de líquido son:

• Brazo horizontal:

• 

  Al girar el tubo, la fuerza centrífuga que actúa sobre un elemento de masa dm situado a una distancia x del eje de rotación es

  dF_c=ω²·x·dm=ρSω²x·dx

  donde ρ es la densidad del líquido y S la sección trasversal constante del tubo.

La fuerza centrífuga total sobre todos los elementos del líquido situado en el brazo horizontal se obtiene integrando desde x=0 hasta x=L.

${\displaystyle F_c={\displaystyle \underset{0}{\overset{L}{\int }}\rho A{\omega }^{2}xdx=\frac{1}{2}\rho A{\omega }^2{L}^2}}$

• Brazos verticales

El peso del líquido contenido en el brazo vertical más alejado del eje de rotación es

F_g=ρSg(h+z)

El peso del líquido contenido en el brazo vertical que coincide con el eje de rotación es

F’_g=ρSg(h-z)

En el equilibrio, la suma de fuerzas debe ser cero

F_c+ F’_g= F_g

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{2}\rho A{\omega }^2{L}^2+\rho A(h-z)g=\rho A(h+z)g\\ \omega =\frac{2}{L}\sqrt{gz}z=\frac{L^2}{4g}{\omega }^2\end{array}}$

A medida que incrementamos la velocidad angular de rotación ω, la altura z de líquido por encima de la de equilibrio h, en el brazo vertical más alejado del eje de rotación, va creciendo proporcionalmente ω², y decrece en el brazo que coincide con el eje. Cuando z=h, desaparece el líquido en este brazo vertical. La velocidad angular ω_máx vale

${\displaystyle {\omega }_{máx}=\frac{2}{L}\sqrt{gh}}$

Esta es la velocidad angular máxima que puede medir el manómetro.

El comportamiento de un líquido en el tubo en U que gira alrededor de un eje es bastante complejo y será estudiado en detalle en la página titulada “Histéresis en un tubo en forma de U que gira alrededor de un eje“

Actividades

Una plataforma gira alrededor de un eje vertical con velocidad angular ω.

El programa interactivo, genera un número aleatorio que representa la velocidad angular de rotación en rad/s.

• La altura inicial del líquido en los brazos verticales se ha fijado en h=25 cm

• La longitud del brazo horizontal del tubo se ha fijado en L=50 cm

Se pulsa el botón titulado Empieza.

• Se mide la altura del líquido en el brazo que coincide con el eje de rotación.

• Se calcula la velocidad angular ω.

Se compara el resultado con el proporcionado por el programa interactivo pulsando el botón titulado Respuesta.

Ejemplo:

Cuando la plataforma está en reposo, la altura del líquido en los dos brazos verticales es h=25 cm.

Cuando gira con velocidad angular ω, la altura del líquido en el brazo que coincide con el eje de rotación es 14.3 cm

z=25-14.3=10.7 cm

${\displaystyle \omega =\frac{2}{L}\sqrt{gz}\omega =\frac{2}{0.5}\sqrt{9.8·0.107}=4.10\text{rad/s}}$

Obtenemos también, la velocidad angular de rotación ω midiendo el tiempo t que tarda la plataforma o el tubo en dar n vueltas completas.

2πn=ω·t

En este ejemplo, para completar cinco vueltas ha empleado un  tiempo de 7.68 s.

${\displaystyle \omega =\frac{5·2·\pi }{7.68}=4.1\text{0}\text{rad/s}}$

FluidoApplet1 aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Sutton R. M. Some dynamic applications of liquid manometers. Am. J. Phys. 3 (1935), pp. 77-81

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García